Class VIII- Multiplication and Division
Math
Exercise 4.1
অষ্টম শ্রেণী
অংক
কষে দেখি - 4.1
বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ
কষে দেখি - 4.1
1.
a)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : x² - 3x + 5
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : 5x + 9
গুণফল : (x² - 3x + 5)(5x + 9)
(x² - 3x + 5)(5x + 9)
= 5x³ - 15x² + 25x + 9x² - 27x + 45
= 5x³ - 6x² - 2x + 45
গুনফলের মান :
x = 1 বসিয়ে পাই
= 5(1)³ - 6(1)² - 2.1 + 45
= 5 - 6 - 2 + 45
= 42
b)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : x² + 12 - 7y
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : 2x - y
গুণফল : (x² + 12 - 7y)(2x - y)
(x² + 12 - 7y)(2x - y)
= 2x³ + 24x - 14xy - x²y - 12y + 7y²
= 2x³ - x²y + 24x - 12y - 14xy + 7y²
গুনফলের মান :
x = -2 ও y = 2 বসিয়ে পাই
= 2.(-2)³ - (-2)².2 + 24.(-2) - 12.2 - 14.(-2).2 + 7.(2)²
= - 16 - 8 - 48 - 24 + 56 +28
= - 96 + 84
= - 12
c)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : 8p³ - 3p - 2p²
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : 4p² - 5
গুণফল : ( 8p³ - 3p - 2p²)(4p² - 5)
(8p³ - 3p - 2p²)(4p² - 5)
= 32p⁵ - 12p³ - 8p⁴ - 40p³ + 15p + 10p²
= 32p⁵ - 8p⁴ - 52p³ + 10p² + 15p
গুনফলের মান :
P = -2 বসিয়ে পাই
= 32(-2)⁵ - 8(-2)⁴ - 52(-2)³ + 10(-2)² + 15(-2)
= - 1024 - 128 + 416 + 40 - 30
= - 1182 + 456
= - 726
d)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : 6a + 5b + 2
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : a - b + 6
গুণফল : (6a + 5b + 2 )(a - b + 6)
(6a + 5b + 2 )(a - b + 6)
= 6a² + 5ab + 2a - 6ab - 5b² - 2b + 36a + 30b + 12
= 6a² - ab + 38a + 28b - 5b² + 12
গুনফলের মান :
a = 0 ও b = -1 বসিয়ে পাই
= 6(0)² - 0.(-1) + 38.0 + 28(-1) - 5(-1)² + 12
= 0 - 0 + 0 - 28 - 5 + 12
= - 33 + 12
= - 21
e)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : p³ - p²q² + q³
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : p² + pq + q²
গুণফল : (p³ - p²q² + q³)(p² + pq + q²)
(p³ - p²q² + q³)(p² + pq + q²)
= p⁵ - p⁴q² + p²q³ + p⁴q - p³q³ + pq⁴ + p³q² - p²q⁴ + q⁵
= p⁵ - p⁴q² + p⁴q - p³q³ + pq⁴ + p³q² + p²q³ - p²q⁴ + q⁵
গুনফলের মান :
p = 2 ও y = -2 বসিয়ে পাই
= (2)⁵ - (2)⁴(-2)² + (2)⁴(-2) - (2)³(-2)³ + (2)(-2)⁴ + (2)³(-2)² + (2)²(-2)³ - (2)²(-2)⁴ + (-2)⁵
= 32 - 64 - 32 + 64 + 32 + 32 - 32 - 64 - 32
= - 64
f)
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : x² + y² + z² - xy - yz - zx
প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা : x + y + z
গুণফল : (x² + y² + z² - xy - yz - zx)(x + y + z)
(x² + y² + z² - xy - yz - zx)(x + y + z)
= x³ + xy² + xz² - x²y - xyz - x²z + x²y + y³ + yz² - xy² - y²z - xyz + x²z + y²z + z³ - xyz - yz² - xz² [কাটাকাটি করি]
= x³ + y³ + z³ - 3xyz
গুনফলের মান :
x = 1, y = 0, z = -1 বসিয়ে পাই
= (1)³ + (0)³ + (-1)³ - 3.1.0.(-1)
= 1 + 0 - 1 - 0
= 0
2. ধারাবাহিক গুণ করে গুণফল খুঁজি (পরপর গুণ করি)
(i) (x⁵ + 1), (3 - x⁴), (4 + x³ + x⁶)
(ii) (2a³ - 3b⁵), (2a³ + 3b⁵), (2a⁴ - 3a²b² + b⁴)
(iii) (ax + by), (ax - by), (a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
(iv) (a + b + c), (a - b + c), (a + b - c)
(v) $(\frac {2p²}{q²}+\frac {5q²}{p²}), (\frac {2p²}{q²}-\frac {5q²}{p²})$
(vi) $(\frac {x²}{y²}+\frac {y²}{z²}), (\frac {y²}{z²}+\frac {z²}{x²}), (\frac {z²}{x²}+\frac {x²}{y²})$
সমাধান
(i) (x⁵ + 1), (3 - x⁴), (4 + x³ + x⁶)
পরপর গুণ করি
∴ (x⁵ + 1)(3 - x⁴)(4 + x³ + x⁶)
= (3x⁵ + 3 - x⁹ - x⁴)(4 + x³ + x⁶)
= 12x⁵ + 12 - 4x⁹ - 4x⁴ + 3x⁸ + 3x³ - x¹² - x⁷ + 3x¹¹ + 3x⁶ - x¹⁵ - x¹⁰
= - x¹⁵ - x¹² + 3x¹¹ - x¹⁰ - 4x⁹ + 3x⁸ - x⁷ + 3x⁶ + 12x⁵ - 4x⁴ + 3x³ + 12
Ans. - x¹⁵ - x¹² + 3x¹¹ - x¹⁰ - 4x⁹ + 3x⁸ - x⁷ + 3x⁶ + 12x⁵ - 4x⁴ + 3x³ + 12
(ii) (2a³ - 3b³), (2a³ + 3b⁵), (2a⁴ - 3a²b² + b⁴)
পরপর গুণ করি
∴ (2a³ - 3b⁵)(2a³ + 3b⁵)(2a⁴ - 3a²b² + b⁴)
= (4a⁶ - 6a³b⁵ + 6a³b⁵ - 9b¹⁰)(2a⁴ - 3a²b² + b⁴)
= (4a⁶ - 9b¹⁰)(2a⁴ - 3a²b² + b⁴)
= 8a¹⁰ - 18a⁴b¹⁰ - 12a⁸b² + 27a²b¹² + 4a⁶b⁴ - 9b¹⁴
= 8a¹⁰ - 12a⁸b² + 4a⁶b⁴ - 18a⁴b¹⁰ + 27a²b¹² - 9b¹⁴
Ans. 8a¹⁰ - 12a⁸b² + 4a⁶b⁴ - 18a⁴b¹⁰ + 27a²b¹² - 9b¹⁴
(iii) (ax + by), (ax - by), (a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
পরপর গুণ করি
∴ (ax + by)(ax - by)(a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
= (a²x² + abxy - abxy - b²y²)(a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
= (a²x² - b²y²)(a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
= a⁶x⁶ - a⁴b²x⁴y² + a⁴b²x⁴y² - a²b⁴x²y⁴ + a²b⁴x²y⁴ - b⁶y⁶
= a⁶x⁶ - b⁶y⁶
Ans. a⁶x⁶ - b⁶y⁶
(iv) (a + b + c), (a - b + c), (a + b - c)
পরপর গুণ করি
∴ (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)
= (a² + ab + ac - ab - b² - bc + ac + bc + c²)(a + b - c)
= (a² + ac - b² + ac + c²)(a + b - c)
= (a² - b² + c² + 2ac)(a + b - c)
= a³ - ab² + ac² + 2a²c + a²b + bc² + 2abc - a²c + b²c - c³ - 2ac²
= a³ - b³ - c³ + 2abc - ab² + ac² - 2ac² + 2a²c - a²c + a²b + b²c + bc²
= a³ - b³ - c³ + 2abc - ab² - ac² + a²c + a²b + b²c + bc²
Ans. a³ - b³ - c³ + 2abc - ab² - ac² + a²c + a²b + b²c + bc²
(v) $(\frac {2p²}{q²}+\frac {5q²}{p²}), (\frac {2p²}{q²}-\frac {5q²}{p²})$
পরপর গুণ করি
∴ $(\frac {2p²}{q²}+\frac {5q²}{p²})(\frac {2p²}{q²}-\frac {5q²}{p²})$
= $(\frac {2p²}{q²})^2+(\frac {2p²}{q²})(\frac {5q²}{p²})- (\frac {2p²}{q²})(\frac {5q²}{p²})-(\frac {5q²}{p²})^2$
= $(\frac {2p²}{q²})^2-(\frac {5q²}{p²})^2$
= $\frac {4p⁴}{q⁴}-\frac {25q⁴}{p⁴}$
Ans. $\frac {4p⁴}{q⁴}-\frac {25q⁴}{p⁴}$
(vi) $(\frac {x²}{y²}+\frac {y²}{z²}), (\frac {y²}{z²}+\frac {z²}{x²}), (\frac {z²}{x²}+\frac {x²}{y²})$
পরপর গুণ করি
∴ $(\frac {x²}{y²}+\frac {y²}{z²})(\frac {y²}{z²}+\frac {z²}{x²})(\frac {z²}{x²}+\frac {x²}{y²})$
= $[\frac {x²}{y²}.\frac {y²}{z²}+(\frac {y²}{z²})^2+\frac {x²}{y²}.\frac {z²}{x²}+\frac {y²}{z²}.\frac {z²}{x²}](\frac {z²}{x²}+\frac {x²}{y²})$
=$(\frac {x²}{z²}+\frac {y⁴}{z⁴}+\frac {z²}{y²}+\frac {y²}{x²})(\frac {z²}{x²}+\frac {x²}{y²})$
=$\frac {x²}{z²}.\frac {z²}{x²}+\frac {y⁴}{z⁴}.\frac {z²}{x²}+\frac {z²}{y²}.\frac {z²}{x²}+\frac {y²}{x²}.\frac {z²}{x²}$$ +\frac {x²}{z²}.\frac {x²}{y²}+\frac {y⁴}{z⁴}.\frac {x²}{y²}+\frac {z²}{y²}.\frac {x²}{y²}+\frac {y²}{x²}.\frac {x²}{y²}$
=$1+\frac {y⁴}{x²z²}+\frac {z⁴}{x²y²}+\frac {y²z²}{x⁴}+\frac {x⁴}{y²z²}+\frac {x²y²}{z⁴}+\frac {x²z²}{y⁴}+1$
=$2+\frac {x⁴}{y²z²}+\frac {y⁴}{x²z²}+\frac {z⁴}{x²y²}+\frac {y²z²}{x⁴}+\frac {x²z²}{y⁴}+\frac {x²y²}{z⁴}$
Ans. $2+\frac {x⁴}{y²z²}+\frac {y⁴}{x²z²}+\frac {z⁴}{x²y²}+\frac {y²z²}{x⁴}+\frac {x²z²}{y⁴}+\frac {x²y²}{z⁴}$
3. সরল করি
(i) (x + y ) ( x² - xy + y² ) + ( x - y ) ( x² + xy + y² )
( ii ) a² ( b² - c² ) + b² ( c² - a² ) + c² ( a² – b² )
সমাধান
(i) (x + y ) ( x² - xy + y² ) + ( x - y ) ( x² + xy + y² )
= (x³ + y³) + (x³ - y³). [ সূত্র প্রয়োগ করে পাই]
= x³ + y³ + x³ - y³
= 2x³
Ans. 2x³
( ii ) a² ( b² - c² ) + b² ( c² - a² ) + c² ( a² – b² )
= a²b² - a²c² + b²c² - a²b² + a²c² – b²c²
= a²b² - a²c² + b²c² - a²b² + a²c² – b²c² [কাটাকাটি করি]
= 0
4.
(i) a = x² + xy + y² , b = y² + yz + z² , c = z² + xz + x² হলে ( x - y ) a + ( y - z ) b + ( z - x )c এর মান নির্ণয় করি ।
(ii) a = lx + my + n , b = mx + ny + l , c = nx + ly + m হলে a ( m + n) + b ( n + l ) + c (l + m ) কী হয় দেখি ।
সমাধান
(i) a = x² + xy + y² , b = y² + yz + z² , c = z² + xz + x² হলে ( x - y ) a + ( y - z ) b + ( z - x )c এর মান নির্ণয় করি ।
( x - y ) a + ( y - z ) b + ( z - x )c
মান বসিয়ে পাই
= ( x - y )(x² + xy + y² ) + ( y - z )(y² + yz + z²) + ( z - x )(z² + xz + x²)
= x³ - y³ + y³ - z³ + z³ - x³ [কাটাকাটি করি]
= 0
Ans. 0
(ii) a = lx + my + n , b = mx + ny + l , c = nx + ly + m হলে a ( m + n) + b ( n + l ) + c (l + m ) কী হয় দেখি ।
a ( m + n) + b ( n + l ) + c (l + m )
মান বসিয়ে পাই
= (lx + my + n) ( m + n) +(mx + ny + l)( n + l ) + (nx + ly + m) (l + m )
= lmx + m²y + mn + lnx + mny + n² + mnx + n²y + ln + lmx + lny + l² + lnx + l²y + lm + mnx + lmy + m²
= l² + m² + n² + l²y + m²y + n²y + lmy + mny + lny + 2lmx + 2mnx+ 2lnx + lm + ln + mn
= l² + m² + n² + y(l² + m² + n² + lm + mn + ln) + 2x(lm + mn+ ln) + lm + ln + mn
Ans. l² + m² + n² + y(l² + m² + n² + lm + mn + ln) + 2x(lm + mn+ ln) + lm + ln + mn
2 মন্তব্যসমূহ
Thanks
উত্তরমুছুনকষে দেখি-4.1 এর 2নং দাগের (v),(vi) উত্তর গুলি বই এর সাথে মিলছে না
উত্তরমুছুনYour comment will be visible after approval