দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.4 || Class X - Math - Exercise 1.4 - Quadratic Equations with One Variable

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.4

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 1
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1.4

Quadratic Equations with One Variable 

(i) 4x² + (2x-1) (2x+1) = 4x(2x-1) -এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।

উত্তর:

      4x² + (2x - 1) (2x + 1) = 4x(2x - 1)

বা, 4x² + {(2x)² - (1)²} = 8x² - 4x

বা, 4x² + 4x² - 1 = 8x² - 4x

বা, 8x² - 1 = 8x² - 4x

বা, 4x = 1

   ইহা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় তাই এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়।

Ans. এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।

উত্তর:

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা যে-কোনো একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের (বীজ নির্ণয়ের মাধ্যমে) সমাধান করতে পারি।

(iii) 5x²+2x-7=0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $x = \frac{k±12}{10} $ পাওয়া গেলে k-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

5x²+2x-7=0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 5, b = 2 এবং c = -7

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই

x = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$ 

   = $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.5.(-7)}}{2.5}$

   = $\frac{-2 ± \sqrt{4+140}}{10}$

   = $\frac{-2 ± \sqrt{144}}{10}$

   = $\frac{-2 ± 12}{10}$

∴ $x = \frac{k±12}{10}$ ও $x = \frac{-2±12}{10}$ তুলনা করে পাই

k = -2

Ans. k এর মান -2

2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

(i) 3x² + 11x - 4 = 0 

উত্তর:

3x² + 11x - 4 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 11 এবং c = -4

এখন

b² - 4ac = (11)² - 4.3.(-4) = 121 + 48 = 169 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$ 

                = $\frac{-(11) ± \sqrt{(11)²-4.3.(-4)}}{2.3}$

                = $\frac{-11 ± \sqrt{121 + 48}}{6}$

                = $\frac{-11 ± \sqrt{169}}{6}$

                = $\frac{-11 ± 13}{6}$

হয়, 

       $x = \frac{-11 + 13}{6}$

  বা, $x = \frac{2}{6}$

  বা, $x = \frac{1}{3}$

অথবা, 

           $x = \frac{-11 - 13}{6}$

      বা, $x = \frac{-24}{6}$

      বা, $x = -4$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও -4

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও -4

(ii) (x – 2)(x + 4) + 9=0

উত্তর:

     (x – 2)(x + 4) + 9= 0

বা, x² + 4x - 2x - 8 + 9 = 0

বা, x² + 2x + 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 2 এবং c = 1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.1.(1) = 4 - 4 = 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$ 

                = $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.1.1}}{2.1}$

                = $\frac{-2 ± \sqrt{4 - 4}}{2}$

                = $\frac{-2 ± \sqrt{0}}{2}$

                = $\frac{-2 ± 0}{2}$

হয়, 

       $x = \frac{-2 + 0}{2}$

  বা, $x = \frac{-2}{2}$

  বা, $x = -1$

অথবা, 

           $x = \frac{-2 - 0}{2}$

      বা, $x = \frac{-2}{2}$

      বা, $x = -1$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $-1$ ও $-1$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $-1$ ও $-1$

(iii) (4x – 3)² – 2(x + 3) = 0

উত্তর:

     (4x – 3)² – 2(x + 3) = 0

বা, 16x² - 24x + 9 - 2x - 6 = 0

বা, 16x² - 26x + 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 16, b = -26 এবং c = 3

এখন

b² - 4ac = (-26)² - 4.16.3 = 676 - 192 = 484 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

                = $\frac{-(-26) ± \sqrt{(-26)² - 4.16.3}}{2.16}$

                = $\frac{26 ± \sqrt{676 - 192}}{32}$

                = $\frac{26 ± \sqrt{484}}{2}$

                = $\frac{26 ± 22}{32}$

হয়,

       $x = \frac{26 + 22}{32}$

  বা, $x = \frac{48}{32}$

  বা, $x = \frac{3}{2}$

অথবা, 

           $x = \frac{26 - 22}{32}$

      বা, $x = \frac{4}{32}$

      বা, $x = \frac{1}{8}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $\frac{1}{8}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $\frac{1}{8}$

(iv) 3x² + 2x - 1 = 0

উত্তর:

  3x² + 2x - 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2 এবং c = -1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.3.(-1) = 4 + 12 = 16 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$

                = $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.3.(-1)}}{2.3}$

                = $\frac{-2 ± \sqrt{4 + 12}}{6}$

                = $\frac{-2 ± \sqrt{16}}{6}$

                = $\frac{-2 ± 4}{6}$

হয়, 

        $x = \frac{-2 + 4}{6}$

  বা, $x = \frac{2}{6}$

  বা, $x = \frac{1}{3}$

অথবা,

           $x = \frac{-2 - 4}{6}$

      বা, $x = \frac{-6}{6}$

      বা, $x = -1$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $-1$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $-1$

(v) 3x² + 2x + 1 = 0

উত্তর:

  3x² + 2x + 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2 এবং c = 1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.3.1 = 4 - 12 = -12 < 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. উক্ত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

(vi) 10x² - x - 3 = 0

উত্তর:

10x² - x - 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 10, b = -1 এবং c = -3

এখন

b² - 4ac = (-1)² - 4.10.(-3) = 1 + 120 = 121 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

                = $\frac{-(-1) ± \sqrt{(-1)² - 4.10.(-3)}}{2.10}$

                = $\frac{1 ± \sqrt{1 + 120}}{20}$

                = $\frac{1 ± \sqrt{121}}{20}$

                = $\frac{1 ± 11}{20}$

হয়, 

       $x = \frac{1 + 11}{20}$

  বা, $x = \frac{12}{20}$

  বা, $x = \frac{3}{5}$

অথবা,

           $x = \frac{1 - 11}{20}$

      বা, $x = \frac{-10}{20}$

      বা, $x = -\frac{1}{2}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{5}$ ও $-\frac{1}{2}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{5}$ ও $-\frac{1}{2}$

(vii) 10x² - x + 3 = 0

উত্তর:

  10x² - x + 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 10, b = -1 এবং c = 3

এখন

b² - 4ac = (-1)² - 4.10.3 = 1 - 120 = -119 < 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. উক্ত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

(viii) 25x² - 30x + 7=0

উত্তর:

25x² - 30x + 7 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 25, b = -30 এবং c = 7

এখন

b² - 4ac = (-30)² - 4.25.(7) = 900 - 700 = 200 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

                = $\frac{-(-30) ± \sqrt{(-30)² - 4.25.7}}{2.25}$

                = $\frac{30 ± \sqrt{900 - 700}}{50}$

                = $\frac{30 ± \sqrt{200}}{50}$

                = $\frac{30 ± \sqrt{10×10×2}}{50}$

               = $\frac{30 ± 10\sqrt{2}}{50}$

হয়, 

       $x = \frac{30 + 10\sqrt{2}}{50}$

  বা, $x = \frac{10(3 + \sqrt{2})}{50}$

  বা, $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$

অথবা, 

           $x = \frac{30 - 10\sqrt{2}}{50}$

      বা, $x = \frac{10(3 - \sqrt{2})}{50}$

      বা, $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ ও $\frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ ও $\frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

(ix) (4x - 2 )² + 6x = 25

উত্তর:

      (4x - 2 )² + 6x = 25

বা, 16x² - 16x + 4 + 6x - 25 = 0

বা, 16x² - 10x - 21 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 16, b = -10 এবং c = -21

এখন

b² - 4ac = (-10)² - 4.16.(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

                = $\frac{-(-10) ± \sqrt{(-10)² - 4.16.(-21)}}{2.16}$

                = $\frac{10 ± \sqrt{100 + 1344}}{32}$

                = $\frac{10 ± \sqrt{1444}}{32}$

                = $\frac{10 ± 38}{32}$

হয়, 

       $x = \frac{10 + 38}{32}$

  বা, $x = \frac{48}{32}$

  বা, $x = \frac{3}{2}$

অথবা, 

            $x = \frac{10 - 38}{32}$

      বা, $x = \frac{-28}{32}$

      বা, $x = -\frac{7}{8}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $-\frac{7}{8}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $-\frac{7}{8}$

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।

(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভূজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.

সুতরাং অতিভূজের দৈর্ঘ্য (2x + 6) সেমি.

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য {(2x + 6) - 2} সেমি.

                               = (2x + 6 - 2) সেমি.

                               = (2x + 4) সেমি.

আমরা জানি,

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির বর্গের সমষ্টি অতিভূজের বর্গের মানের সমান।

এক্ষেত্রে,

      x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²

বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36

বা, x² + 4x² + 16x + 16 - 4x² - 24x - 36 = 0

বা, x² - 8x - 20 = 0

বা, x² - (10 - 2)x - 20 = 0 

বা, x² - 10x + 2x - 20 = 0 

বা, x(x - 10) + 2(x - 10) = 0

বা, (x - 10)(x + 2) = 0

হয়,

     x - 10 = 0

বা, x = 10

অথবা,

      x + 2 = 0

বা, x = - 2                  [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

অতিভূজের দৈর্ঘ্য = (2×10 + 6) সেমি.

                          = (20 + 6) সেমি.

                          = 26 সেমি.

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = (2×10 + 4) সেমি.

                                   = (20 + 4) সেমি.

                                   = 24 সেমি.

Ans. সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি., 24 সেমি. ও 26 সেমি.

(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x

এবং দশকের ঘরের অঙ্ক 2x

সুতরাং সংখ্যাটি হল = 10 × 2x + x

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

      x(10 × 2x + x) = 189

বা, x(20x + x) = 189

বা, x × 21x - 189 = 0

বা, 21x² - 189 = 0

বা, x² - 9 = 0

বা, x² - (3)² = 0

বা, (x + 3)(x - 3) = 0

হয়,

      x + 3 = 0

বা, x = -3             [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

      x - 3 = 0

বা, x = 3

সুতরাং এককের ঘরের অঙ্ক 3

Ans. এককের ঘরের অঙ্ক 3

(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মি. / সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অণিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অণিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, অনিকের গতিবেগে $x$ মি. / সেকেন্ড

সুতরাং সালমার গতিবেগ $(x + 1)$ মি. / সেকেন্ড

সুতরাং 180 মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে = $\frac{180}{x}$ সেকেন্ড

এবং 180 মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে = $\frac{180}{x + 1}$ সেকেন্ড

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

     $\frac{180}{x}$ - $\frac{180}{x + 1}$ = 2

বা, $\frac{180(x + 1) - 180x}{x(x + 1)}$ = 2

বা, $\frac{180x + 180 - 180x}{x² + x}$ = 2

বা, $\frac{180}{x² + x}$ = 2

বা, $\frac{90}{x² + x}$ = 1

বা, $x² + x = 90$

বা, $x² + x - 90 = 0$

বা, $x² + (10 - 9)x - 90 = 0$

বা, $x² + 10x - 9x - 90 = 0$

বা, $x(x + 10) - 9(x + 10) = 0$

বা, $(x + 10)(x - 9) = 0$

হয়,

     x + 10 = 0

বা, x = -10          [গতিবেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

      x - 9 = 0

বা, x = 9

সুতরাং অণিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড

Ans. অণিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার

সুতরাং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য = (x + 5) মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর প্রস্থ = (x - 3) মিটার

সুতরাং বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x + 5)(x - 3) বর্গ মিটার

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

     (x + 5)(x - 3) =2x² - 78

বা, x² - 3x + 5x - 15 - 2x² + 78 = 0

বা, -x² + 2x + 63 = 0

বা, x² - 2x - 63 = 0

বা, x² - (9 - 7)x - 63 = 0

বা, x² - 9x + 7x - 63 = 0

বা, x(x - 9) + 7(x - 9) = 0

বা, (x - 9)(x + 7) = 0

হয়,

      x - 9 = 0

বা, x = 9

অথবা,

      x + 7 = 0

বা, x = -7             [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার

Ans. বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশী গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, লঙ্কার সারির সংখ্যা = x টি

প্রতিটি সারিতে লঙ্কার চারার সংখ্যা = (x + 24) টি

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

      x(x +24) +10 = 350

বা, x² +24x +10 - 350 = 0

বা, x² +24x - 340 = 0

বা, x² +(34 - 10)x - 340 = 0

বা, x² +34x - 10x - 340 = 0

বা, x(x + 34) - 10(x - 34) = 0

বা, (x+34)(x - 10) = 0

হয়,

     x + 34 = 0

বা, x = -34        [সারির সংখ্যা ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

      x - 10 = 0

বা, x = 10

সুতরাং লঙ্কার সারির সংখ্যা 10 টি

Ans. সারির সংখ্যা 10 টি

(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুণ্ডলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে x টি জিনিস তৈরি করে

অর্থাৎ কুন্তল x টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা 360 মিনিটে 

          কুন্তল 1 টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা $\frac{360}{x}$ মিনিটে 

আবার জোসেফ 6 ঘণ্টা কাজ করে (x + 6) টি জিনিস তৈরি করে

অর্থাৎ জোসেফ (x + 6)টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা 360 মিনিটে 

           জোসেফ 1 টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা $\frac{360}{x + 6}$ মিনিটে 

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

     $\frac{360}{x}$ - $\frac{360}{x + 6}$ = 5

বা, $\frac{360(x + 6) - 360×x}{x(x + 6)}$ = 5

বা, $\frac{360x + 2160 - 360x}{x² + 6x}$ = 5

বা, $\frac{2160}{x² + 6x}$ = 5

বা, $5(x² + 6x) = 2160$

বা, $x² + 6x = 432$

বা, $x² + 6x - 432 = 0$

বা, $x² + (24 - 18)x - 432 = 0$

বা, $x² + 24x - 18x - 432 = 0$

বা, $x(x + 24) - 18(x + 24) = 0$

বা, $(x + 24)(x - 18) = 0$

হয়,

      x + 24 = 0

বা, x = -24               [সারির সংখ্যা ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

      x - 18 = 0

বা, x = 18

সুতরাং কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে 18 টি জিনিস তৈরি করে

Ans. কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে 18 টি জিনিস তৈরি করে।

(vii) স্থিরজলে একটি নৌকার গতিবেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, স্রোতের বেগ x কিমি/ঘণ্টা

স্থিরজলে নৌকার গতিবেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ (8 + x) কিমি/ঘণ্টা

এবং স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ (8 - x) কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং স্রোতের অনুকূলে,

(8 + x) কিমি যায় 1 ঘন্টায় 

         1 কিমি যায় $\frac{1}{8+x}$ ঘন্টায়

       15 কিমি যায় $\frac{1×15}{8+x}$ ঘন্টায়

                         = $\frac{18}{8+x}$

এবং স্রোতের প্রতিকূলে,

(8 - x) কিমি যায় 1 ঘন্টায়

        1 কিমি যায় $\frac{1}{8-x}$ ঘন্টায়

      22 কিমি যায় $\frac{1×22}{8-x}$ ঘন্টায়

                       = $\frac{22}{8-x}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

   $\frac{15}{8+x}$ + $\frac{22}{8-x}$ = 5

বা, $\frac{15(8-x)+22(8+x)}{(8+x)(8-x)}$ = 5

বা, $\frac{120-15x+176+22x}{(8)²-(x)²}$ = 5

বা, $\frac{296+7x}{64-x²}$ = 5

বা, $296 + 7x = 320 - 5x²$

বা, $296 + 7x - 320 + 5x² = 0$

বা, $5x² + 7x - 24 = 0$

বা, $5x² + (15 - 8)x - 24 = 0$

বা, $5x² + 15x - 8x - 24 = 0$

বা, $5x(x + 3) - 8(x + 3) = 0$

বা, $(x + 3)(5x - 8) = 0$

হয়,

      $x + 3=0$

বা, $x = -3$      [স্রোতের বেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

     $5x - 8 = 0$

বা, $5x = 8$

বা, $x = \frac{8}{5}$

বা, $x = 1\frac{3}{5}$

সুতরাং স্রোতের বেগ $1\frac{3}{5}$ কিমি/ঘণ্টা

Ans. স্রোতের বেগ $1\frac{3}{5}$ কিমি/ঘণ্টা

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘণ্টায় 15 কিমি. বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘণ্টা আগে পৌঁছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $x$ কিমি.

সুতরাং এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় $x-15$ কিমি.

সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনটি

$x$ কিমি যায় 1 ঘন্টায়

  1 কিমি যায় $\frac{1}{x}$ ঘন্টায়

180 কিমি যায় $\frac{1×180}{x}$ ঘন্টায়

                    = $\frac{180}{x}$

এবং এক্সপ্রেস ট্রেনটি

$(x-15)$ কিমি যায় 1 ঘন্টায়

   1 কিমি যায় $\frac{1}{x-15}$ ঘন্টায়

180 কিমি যায় $\frac{1×180}{x-15}$ ঘন্টায়

                    = $\frac{180}{x-15}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

     $\frac{180}{x-15} - \frac{180}{x} = 1$

বা, $\frac{180x-180(x-15)}{(x-15)x} = 1$

বা, $\frac{180x-180x+2700}{x²-15x} = 1$

বা, $\frac{2700}{x²-15x} = 1$

বা, $x²-15x = 2700$

বা, $x²-15x-2700 = 0$

বা, $x²-(60-45)x-2700 = 0$

বা, $x²-60x+45x-2700 = 0$

বা, $x(x-60)+45(x-60) = 0$

বা, $(x-60)(x+45) = 0$

হয়,

      $x - 60 = 0$

বা, $x = 60$

অথবা,

     $x + 45 = 0$

বা, $x = -45$         [ট্রেনের গতিবেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $60$ কিমি

Ans. সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $60$ কিমি

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমাণের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

উত্তর:

ধরি, প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $x$ টাকা

সুতরাং প্রতি কিগ্রা ডালের দাম $(x-20)$ টাকা

এবং প্রতি কিগ্রা চালের দাম $(x-40)$ টাকা

এখন,

    $x$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

    $1$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় $\frac{1}{x}$ কিগ্রা

$240$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় $\frac{1×240}{x}$ কিগ্রা

                                             = $\frac{240}{x}$

$(x-20)$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

        $1$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় $\frac{1}{x-20}$ কিগ্রা

    $240$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় $\frac{1×240}{x-20}$ কিগ্রা

                                                = $\frac{240}{x-20}$

$(x-40)$ টাকায় চাল পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

        $1$ টাকায় চাল পাওয়া যায় $\frac{1}{x-40}$ কিগ্রা

    $280$ টাকায় চাল পাওয়া যায় $\frac{1×280}{x-40}$ কিগ্রা

                                               = $\frac{280}{x-40}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

     $\frac{240}{x} + \frac{240}{x-20} = \frac{280}{x-40}$

বা, $\frac{6}{x} + \frac{6}{x-20} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{6(x-20)+6×x}{x(x-20)} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{6x-120+6x}{x²-20x} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{12x-120}{x²-20x} = \frac{7}{x-40}$

বা, $(12x-120)(x-40) = 7(x²-20x)$

বা, $12x²-480x-120x+4800 = 7x²-140x$

বা, $12x²-480x-120x+4800-7x²+140x=0$

বা, $5x²-460x+4800=0$

বা, $x²-92x+960=0$

বা, $x²-(80+12)x+960=0$

বা, $x²-80x-12x+960=0$

বা, $x(x-80)-12(x-80)=0$

বা, $(x-80)(x-12)=0$

হয়,

     $x-80=0$

বা, $x = 80$

অথবা,

     $x-12=0$

বা, $x = 12$      [মাছের দাম প্রতি কিগ্রা 12 টাকা হলে ডাল ও চালের দাম ঋনাত্মক হবে,তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।]

সুতরাং প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $80$ টাকা

Ans. প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $80$ টাকা