Class VIII - Math - Exercise 1:2
অষ্টম শ্রেণী
অংক
কষে দেখি - 1:2
পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
পশ্চিম বঙ্গ শিক্ষা পর্ষদের অষ্টম শ্রেণির পাঠ্যপুস্তক এর পূর্বপাঠের পুনরালোচনা অধ্যায়ের কিছু প্রশ্ন ও তাদের উত্তর নিয়ে আজকে আমাদের আলোচনা। আশাকরি ছাত্র-ছাত্রীদের প্রশ্নগুলির উত্তর খুব কাজে লাগবে। বিষয়ের মধ্যে যদি কোন প্রশ্ন থেকে থাকে তাহলে কমেন্ট বক্সে অবশ্যই জানাবেন? আমরা প্রশ্নগুলির উত্তর দেবার যথাসাধ্য চেষ্টা করব। তাহলে আসুন দেখে নিন আজকের অংক।
কষে দেখি 1:2
1. নিচের প্রত্যেকটির n - তম (n - ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ) সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা লিখি ;
(i)
উত্তর:
∴ বলা যায়, 1 টি সজ্জা = 6 টি কাঠি = (1 x 5 + 1)
2 টি সজ্জা = 11 টি কাঠি = (2 x 5 + 1)
3 টি সজ্জা = 16 টি কাঠি = (3 x 5 + 1)
∴ n টি সজ্জা = (n x 5 + 1) টি কাঠি
= (5n + 1) টি কাঠি
উ: n - তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা (5n + 1) টি কাঠি
(ii)
∴ বলা যায়, 1 টি সজ্জা = 7 টি কাঠি = (1 x 5 + 2)
2 টি সজ্জা = 12 টি কাঠি = (2 x 5 + 2)
3 টি সজ্জা = 17 টি কাঠি = (3 x 5 + 2)
∴ n টি সজ্জা = (n x 5 + 2) টি কাঠি
= (5n + 2) টি কাঠি
উ: n - তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা (5n + 2) টি কাঠি
(iii)
এখানে সজ্জায় কাঠির সংখ্যা 5 টি এবং 1 টি কাঠির সাথে দ্বিতীয় সজ্জা যুক্ত, অর্থাৎ প্রথম সজ্জা = 4+1
∴ বলা যায়, 1 টি সজ্জা = 5 টি কাঠি = (1 x 4 + 1)
2 টি সজ্জা = 9 টি কাঠি = (2 x 4 + 1)
3 টি সজ্জা = 13 টি কাঠি = (3 x 4 + 1)
∴ n টি সজ্জা = (n x 4 + 1) টি কাঠি
= (4n + 1) টি কাঠি
উ: n - তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা (n + 1) টি কাঠি
2. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y - 2) সেমি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা লিখি ।
উত্তর:
[আমরা জানি পরিসীমা কথার অর্থ হল চারদিকের সীমানা]
এক্ষেত্রে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 x বাহু
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = (4y - 2) সেমি.
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 x (4y - 2) সেমি.
= (12y - 6) সেমি.
উঃ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (12y - 6) সেমি.
3. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x + 3y) সেমি. এবং প্রস্থ (8x - 3y) সেমি. । ওই আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল লিখ ।
উত্তর:
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (8x + 3y) সেমি.
ক্ষেত্রের প্রস্থ = (8x - 3y) সেমি.
∴ ক্ষেত্রফল = (8x + 3y) x (8x - 3y) বর্গসেমি
= {(8x)² - (3y)²} বর্গসেমি
= (64x² - 9y²) বর্গসেমি
উঃ আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (64x² - 9y²) বর্গসেমি।
4. বর্গাকারক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m - 4) মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে m-এর মাধ্যমে লিখি । m-এর মান কত হলে এই বর্গাকারক্ষেত্রের পরিসীমা ৪ মিটার হবে হিসাব করে লিখি ।
উত্তর:
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = (3m - 4) মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (3m - 4)² বর্গমিটার
= (9m² - 24m + 16) বর্গমিটার.
আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x বাহু
= 4 x (3m - 4) মিটার
= (12m - 16) মিটার
প্রশ্নানুযায়ী,
(12m - 16) = 8
বা, 12m - 16 = 8
বা, 12m = 8 + 16
বা, 12m = 24
বা, m = 24 ⁄ 12
বা, m = 2
উঃ বর্গাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (9m² - 24m + 16) বর্গমিটার। এবং m-এর মান 2 হলে এই বর্গাকারক্ষেত্রের পরিসীমা ৪ মিটার হবে।
5. নিচের ছক পূরণ করি :
নিজে করার চেষ্টা করুন ও কমেন্ট বক্সে লিখুন।
6. নিচের ছক দেখি ও লিখি :
নিজে করার চেষ্টা করুন ও কমেন্ট বক্সে লিখুন।
7.
(i) (a - b) + (b - c) + (c - a)
(ii) (a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a)
(iii) $x^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac yx+\frac xy\right)\times y^2$
(iv) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)
(v) x²(y² - z²) + y²(z² - x²) + z²(x² - y²)
(vi) (x³ + y³)(x³ - y³) + (y³ + z³)(y³ - z³) + (z³ + x³)(z³ - x³)
7. (i) (a - b) + (b - c) + (c - a)
(a - b) + (b - c) + (c - a)
= a - b + b - c + c - a
= + a - a - b + b - c + c [+a-a পর পর কেটে যাবে]
= 0
Ans. 0
7. (ii) (a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a)
(a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a)
= a² - b² + b² - c² + c² - a²
= + a²- a² - b² + b² - c² + c² [+a²-a² পর পর কেটে যাবে]
= 0
Ans. 0
7. (iii) $x^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac yx+\frac xy\right)\times y^2$
$\Rightarrow\;x^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac yx+\frac xy\right)\times y^2\\=\;x^2\times y^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac yx+\frac xy\right)\\=\;x^2\times y^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac yx+\frac xy\right)\\=\;x^2\;y^2\times\left(\frac xy-\frac yx\right)\times\left(\frac xy+\frac yx\right)\\=\;x^2y^2\times\left\{\left(\frac xy\right)^2-\left(\frac yx\right)^2\right\}\\=\;x^2y^2\times\left\{\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right\}\\=\;x^2y^2\times\frac{x^2}{y^2}-x^2y^2\times\frac{y^2}{x^2}\\=\;x^4-y^4$
Ans. x⁴ - y⁴
7. (iv) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)
a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)
= ab- ac + bc - ab + ac - bc
= + ab - ab + bc - bc + ac - ac
= 0
Ans. 0
7. (v) x²(y² - z²) + y²(z² - x²) + z²(x² - y²)
x²(y² - z²) + y²(z² - x²) + z²(x² - y²)
= x²y² - x²z² + y²z² - y²x² + z²x² - z²y²
= x²y² - z²x² + y²z² - x²y² + z²x² - y²z²
= + x²y² - x²y² + y²z² - y²z² + z²x² - z²x²
= 0
Ans. 0
7. (vi) (x³ + y³)(x³ - y³) + (y³ + z³)(y³ - z³) + (z³ + x³)(z³ - x³)
(x³ + y³)(x³ - y³) + (y³ + z³)(y³ - z³) + (z³ + x³)(z³ - x³)
= {(x³)² - (y³)²} + {(y³)² - (z³)²} + {(z³)² - (x³)²}
= x⁶ - y⁶ + y⁶ - z⁶ + z⁶ - x⁶
= + x⁶ - x⁶ - y⁶ + y⁶ - z⁶ + z⁶
= 0
Ans. 0
8 . ( a + b ) = a² + 2ab + b² এবং ( a – b ) = a² - 2ab + b² - এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ করি
( i ) 5x - 2y
( ii ) 7+ 2m
( iii ) x + y + z
( iv ) a + b - c - d
( iv ) a + b - c - d
8. ( i ) 5x - 2y
(5x - 2y)²
= (5x)² - 2.5x.2y + (2y)²
= 25x² - 20xy + 4y²
Ans. 25x² - 20xy + 4y²
8. ( ii ) 7+ 2m
(7+ 2m)²
= (7)² + 2.7.2m + (2m)²
= 49 + 28m + 4m²
Ans. 49 + 28m + 4m²
8. ( iii ) x + y + z
(x + y + z)²
= (x + y)² + 2.(x + y).z + z²
= x² + 2.x.y + y² + 2xz + 2yz + z²
= x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z²
= x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
Ans. x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
8. ( iv ) a + b - c - d
(a + b - c - d)²
= {(a + b) - (c + d)}²
= (a + b)² - 2.(a + b).(c + d) + (c + d)²
= a² + 2.a.b + b² - 2.(ac + ad + bc + bd) + c² + 2.c.d + d²
= a² + 2ab + b² - 2ac - 2ad - 2bc - 2bd + c² + 2cd + d²
= a² + b² + c² + d² + 2ab + 2cd - 2ac - 2ad - 2bc - 2bd
Ans. a² + b² + c² + d² + 2ab + 2cd - 2ac - 2ad - 2bc - 2bd
9. ( a + b )² = a² + 2ab + b² এবং ( a - b )² = a² - 2ab + b² - এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলি পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি -
( i ) $9x^2\;+\;\frac9{25y^2}\;-\;\frac{18x}{5y}$
( ii ) 25m² - 70mn + 49n²
( iii ) ( 2a - b )² + ( 4a - 2b ) ( a + b ) + ( a + b )²
( iv ) $\frac{p^2}{q^2}\;-\;\frac{q^2}{p^2}-2$
9. ( i ) $9x^2\;+\;\frac9{25y^2}\;-\;\frac{18x}{5y}$
$\;\;\;\;9x^2\;+\;\frac9{25y^2}\;-\;\frac{18x}{5y}\\=9x^2\;+\;\frac9{25y^2}\;-\;\frac{18x}{5y}\\=\;9x^2\;-\;\frac{18x}{5y}+\;\frac9{25y^2}\;\\=(3x)^2-\;2.3x.\frac3{5y}+(\frac3{5y})^2\\=(3x-\frac3{5y})^2$
9. ( ii ) 25m² - 70mn + 49n²
25m² - 70mn + 49n²
= (5m)² - 2.5m.7n + (7n)²
= (5m - 7n)²
Ans. (5m - 7n)²
9. ( iii ) ( 2a - b )² + ( 4a - 2b ) ( a + b ) + ( a + b )²
( 2a - b )² + ( 4a - 2b ) ( a + b ) + ( a + b )²
= ( 2a - b )² + 2.( 2a - b ) ( a + b ) + ( a + b )²
= {( 2a - b )+( a + b )}²
= ( 2a - b + a + b )²
= (3a)²
10. নীচের সংখ্যামলাকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি :
( i ) 391 x 409
( ii ) ( 4x + 3y ) ( 2x - 3y )
( iii ) x
10. ( i ) 391 x 409
আমরা জানি, $ab=\;\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2$
a = 391
b = 409
∴ 391 x 409
$=\left(\frac{391+409}2\right)^2-\left(\frac{391-409}2\right)^2\\=\;\left(\frac{800}2\right)^2-\left(\frac{-18}2\right)^2\\=\;\;\left(400\right)^2-\left(9\right)^2$
Ans. (400)² - (9)²
( ii ) (4x+3y) (2x-3y)
আমরা জানি, $ab=\;\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2$
a = (4x+3y)
b = (2x-3y)
∴ (4x+3y) x (2x-3y)
$=\left(\frac{(4x+3y)+(2x-3y)}2\right)^2-\left(\frac{(4x+3y)-(2x-3y)}2\right)^2\\=\left(\frac{4x+3y+2x-3y}2\right)^2-\left(\frac{4x+3y-2x+3y}2\right)^2\\=\left(\frac{6x}2\right)^2-\left(\frac{2x+6y}2\right)^2\\=\left(3x\right)^2-\left(x+3y\right)^2$
Ans. $\left(3x\right)^2-\left(x+3y\right)^2$
( iii ) x
আমরা জানি, $ab=\;\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2$
a = x
b = 1
∴ x
$=\left(\frac{x+1}2\right)^2-\left(\frac{x-1}2\right)^2$
Ans. $\left(\frac{x+1}2\right)^2-\left(\frac{x-1}2\right)^2$
11. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি :
( i ) 225m² – 100n²
( ii ) $25x^2-\frac19y^2z^2$
( iii ) 7ax² + 14ax + 7a
( iv ) 3x⁴ – 6x²a² + 3a⁴
( v ) 4b²c² - ( b² + c² - a² )²
( vi ) 64ax² - 49a( x -2y )²
( vii ) x² - 9 - 4xy + 4y²
( viii ) x² – 2x – y² + 2y
( ix ) 3 + 2a - a²
( x ) x⁴ - 1
( xi ) a² – b² - c² + 2bc
( xii ) ac + bc + a + b
( xiii ) x⁴ + x²y² + y⁴
11. ( i ) 225m² – 100n²
225m² – 100n²
= (15m)² - (10n)²
= (15m + 10n) (15m - 10n)
= 5(3m + 2n). 5(3m - 2n)
= 25(3m + 2n) (3m - 2n)
Ans. 25(3m + 2n) (3m - 2n)
11. ( ii ) $25x^2-\frac19y^2z^2$
$\;\;\;\;25x^2-\frac19y^2z^2\\=\left(5x\right)^2-\left(\frac13yz\right)^2\\=\;\left(5x+\frac13yz\;\right)\left(5x-\frac13yz\;\right)$
$Ans.\;\left(5x+\frac13yz\;\right)\left(5x-\frac13yz\;\right)$
11. ( iii ) 7ax² + 14ax + 7a
7ax² + 14ax + 7a
= 7a(x² + 2x + 1)
= 7a(x+1)²
=7a (x + 1)(x + 1)
Ans. 7a (x + 1)(x + 1)
11. ( iv ) 3x⁴ – 6x²a² + 3a⁴
3x⁴ – 6x²a² + 3a⁴
= 3(x⁴ – 2x²a² + a⁴)
= 3{(x²)² - 2.x².a² + (a²)²}
= 3(x² - a²)²
= 3{(x + a)(x - a)}²
= 3(x + a)(x + a)(x - a)(x - a)
Ans. 3(x + a)(x + a)(x - a)(x - a)
11. ( v ) 4b²c² - ( b² + c² - a² )²
4b²c² - ( b² + c² - a² )²
= (2bc)² - ( b² + c² - a² )²
= {(2bc) + (b² + c² - a² )}{(2bc) - ( b² + c² - a² )}
= (2bc + b² + c² - a² )(2bc - b² - c² + a² )
= (b² + 2bc + c² - a² )(a² -b² + 2bc - c²)
= {(b² + 2bc + c²) - (a)² } {(a)² -(b² - 2bc + c²)}
= {(b + c)² - (a)²} {(a)² - (b - c)²}
= {(b + c) + a}{(b + c) - a}{a + (b - c)}{a - (b - c)}
= (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
Ans. (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
11. ( vi ) 64ax² - 49a( x -2y )²
64ax² - 49a( x -2y )²
Ans. a (15x - 14y) (x + 14y)
11. ( vii ) x² - 9 - 4xy + 4y²
x² - 9 - 4xy + 4y²
= x² - 4xy + 4y² - 9
= {(x)² - 2.x.2y + (2y)²} - (3)²
= (x - 2y)² - (3)²
= {(x - 2y) + (3)} {(x - 2y) - (3)}
= (x - 2y + 3) (x - 2y - 3)
Ans. (x - 2y + 3) (x - 2y - 3)
11. ( viii ) x² – 2x – y² + 2y
x² – 2x – y² + 2y
= x² – y² – 2x + 2y
= (x + y) (x - y) - 2(x - y)
= (x - y) {(x + y) - 2}
= (x - y) (x + y - 2)
Ans. (x - y) (x + y - 2)
11. ( ix ) 3 + 2a - a²
3 + 2a - a²
= 2 + 2a + 1 - a²
= 2(1 + a) + (1 + a) (1 - a)
= (1 + a) {2 + (1 - a)}
= (1 + a) (2 + 1 - a)
= (1 + a)(3 - a)
Ans. (1 + a) (3 - a)
11. ( x ) x⁴ - 1
x⁴ - 1
= (x²)² - 1²
= (x² + 1) (x² - 1)
= (x² + 1) (x + 1) (x - 1)
Ans. (x² + 1) (x + 1) (x - 1)
11. ( xi ) a² – b² - c² + 2bc
a² – b² - c² + 2bc
= a² – b² + 2bc - c²
= a² - (b² - 2bc + c²)
= a² - (b - c)²
= {a + (b - c)} {a - (b - c)}
= (a + b - c) (a - b + c)
Ans. (a + b - c) (a - b + c)
11. ( xii ) ac + bc + a + b
ac + bc + a + b
= c (a + b) + 1 (a + b)
= (a + b) (c + 1)
Ans. (a + b) (c + 1)
11. ( xiii ) x⁴ + x²y² + y⁴
x⁴ + x²y² + y⁴
= x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²
= (x²)² + 2.x².y² + (y²)² - x²y²
= (x² + y²)² - (xy)²
= (x² + y² + xy) (x² + y² - xy)
= (x² + xy + y²) (x² - xy + y²)
Ans. (x² + xy - y²) (x² - xy - y²)
12. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি ;
( i ) ( xy + pq ) ( xy - pq )
( ii ) 49 x 51
( iii ) ( 2x – y + 3z ) ( 2x + y + 3z )
( iv ) 1511 x 1489
( v ) ( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a² + 4 )
( vi ) ( a + b - c ) ( b + c - a )
12. ( i ) ( xy + pq ) ( xy - pq )
( xy + pq ) ( xy - pq )
= (xy)² - (pq)²
= x²y² - p²q²
Ans. x²y² - p²q²
12. ( ii ) 49 x 51
49 x 51
= 51 x 49
= (50 + 1)(50 - 1)
= (50)² - (1)²
= 2500 - 1
= 2499
Ans. 2499
12. ( iii ) ( 2x – y + 3z ) ( 2x + y + 3z )
( 2x – y + 3z ) ( 2x + y + 3z )
= ( 2x + 3z – y ) ( 2x +3z + y )
= (2x + 3z)² - (y)²
= (2x)² + 2.2x.3z + (3z)² - y²
= 4x² + 12xz + 9z² - y²
Ans. 4x² + 12xz + 9z² - y²
12. ( iv ) 1511 x 1489
1511 x 1489
= 1511 x 1489
= (1500 + 11) x (1500 - 11)
= (1500)² - (11)²
= 2250000 - 121
= 2249879
Ans. 2249879
12. ( v ) ( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a² + 4 )
( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a² + 4 )
= ( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a² + 4 )
= {(a)² - (2)²} ( a² + 4 )
= (a² - 4)(a² + 4)
= (a²)² - (4)²
= a⁴ - 16
Ans. a⁴ - 16
12. ( vi ) ( a + b - c ) ( b + c - a )
( a + b - c ) ( b + c - a )
= ( b + a - c ) ( b - a + c )
= {(b) + (a - c)} {(b) - (a - c)}
= (b)² - (a - c)²
= b² - (a² - 2.a.c + c²)
= b² - a² + 2ac - c²
Ans. b² - a² + 2ac - c²
2 মন্তব্যসমূহ
2y+3x(2y+3x)3
উত্তরমুছুনYour comment will be visible after approval