Class IX - Factorisation
Math
Exercise 8.4
নবম শ্রেণী
অংক
কষে দেখি - 8.4
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
1. x³ + y³ - 12xy + 64
2. 8x³ - y³ + 1 + 6xy
3. 8a³ - 27b³ - 1 - 18ab
4. 1 + 8x³ + 18xy - 27y³
5. (3a - 2b)³ + (2b - 5c)³ + (5c - 3a)³
6. (2x - y)³ - (x + y)³ + (2y - x)³
7. a⁶ + 32a³ - 64
8. a⁶ - 18a³ + 125
9. p³(q - r)³ + q³(r - p)³ + r³(p - q)³
10. $p³$ + $\frac{1}{p³}$ + $\frac{26}{27}$
Solution
1. x³ + y³ - 12xy + 64
Ans.
x³ + y³ - 12xy + 64
= x³ + y³ - 3.x.y.4 + 64
= x³ + y³ + 64 - 3.x.y.4
= x³ + y³ + (4)³ - 3.x.y.4
= (x + y + 4)(x² + y² + 4² - x.y - y.4 - 4.x)
= (x + y + 4)(x² + y² + 16 - xy - 4y - 4x)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (x + y + 4)(x² + y² + 16 - xy - 4y - 4x)
2. 8x³ - y³ + 1 + 6xy
Ans.
8x³ - y³ + 1 + 6xy
= (2x)³ + (-y)³ + 1³ - 3.2x.(-y).1
= {2x + (-y) + 1){(2x)² + (-y)² + 1² - 2x.(-y) - (-y).1 - 1.2x)
= (2x - y + 1)(4x² + y² + 1 + 2xy + y - 2x)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (2x - y + 1)(4x² + y² + 1 + 2xy + y - 2x)
3. 8a³ - 27b³ - 1 - 18ab
Ans.
8a³ - 27b³ - 1 - 18ab
= (2a)³ + (-3b)³ + (-1)³ - 3.2a.(-3b).(-1)
= {2a + (-3b) + (-1)}{(2a)² + (-3b)² + (-1)² - (2a)(-3b) - (-3b)(-1) - (-1)(2a)}
= (2a - 3b - 1)(4a² + 9b² +1 + 6ab - 3b + 2a)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (2a - 3b - 1)(4a² + 9b² +1 + 6ab - 3b + 2a)
4. 1 + 8x³ + 18xy - 27y³
Ans.
1 + 8x³ + 18xy - 27y³
= 1 + 8x³ - 27y³ + 18xy
= 1³ + (2x)³ + (-3y)³ - 3.2x.(-3y)
= {1 + 2x + (-3y)}{1² + (2x)² + (-3y)² - 1.2x - 2x.(-3y) - (-3y).1}
= (1 + 2x - 3y)(1 + 4x² + 9y² - 2x + 6xy + 3y)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (1 + 2x - 3y)(1 + 4x² + 9y² - 2x + 6xy + 3y)
5. (3a - 2b)³ + (2b - 5c)³ + (5c - 3a)³
Ans.
(3a - 2b)³ + (2b - 5c)³ + (5c - 3a)³
ধরি, (3a - 2b) = x , (2b - 5c) = y , এবং (5c - 3a) = z
∴ x + y + z = (3a - 2b) + (2b - 5c) + (5c - 3a)
= 3a - 2b + 2b - 5c + 5c - 3a
= 0
আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 [যেহেতু (x + y + z) = 0]
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
∴ (3a - 2b)³ + (2b - 5c)³ + (5c - 3a)³
= x³ + y³ + z³ [যেমনটি ধরা হয়েছে]
= 3xyz [আগেই প্রমাণিত]
= 3(3a - 2b)(2b - 5c)(5c - 3a) [মান বসিয়ে পাই]
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন 3(3a - 2b)(2b - 5c)(5c - 3a)
6. (2x - y)³ - (x + y)³ + (2y - x)³
Ans.
(2x - y)³ - (x + y)³ + (2y - x)³
= (2x - y)³ + (-x - y)³ + (2y - x)³
ধরি, (2x - y) = a , (-x - y) = b , এবং (2y - x) = c
∴ a + b + c = (2x - y) + (-x - y) + (2y - x)
= 2x - y - x - y + 2y - x
= 0
আমরা জানি,
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 [যেহেতু (a + b + c) = 0]
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ (2x - y)³ - (x + y)³ + (2y - x)³
= (2x - y)³ + (-x - y)³ + (2y - x)³
= a³ + b³ + c³ [যেমনটি ধরা হয়েছে]
= 3abc [আগেই প্রমাণিত]
= 3(2x - y)(-x - y)(2y - x) [মান বসিয়ে পাই]
= 3(2x - y)(x + y)(x - 2y)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন 3(2x - y)(x + y)(x - 2y)
7. a⁶ + 32a³ - 64
Ans.
a⁶ + 32a³ - 64
= a⁶ + 8a³ - 64 + 24a³
= (a²)³ + (2a)³ + (-4)³ - 3.a².2a.(-4)
= {a² + 2a + (-4)}{(a²)² + (2a)² + (-4)² - a².2a - 2a.(-4) - (-4).a²}
= (a² + 2a - 4)(a⁴ + 4a² + 16 - 2a³ + 8a + 4a²)
= (a² + 2a - 4)(a⁴ - 2a³ + 8a² + 8a + 16)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (a² + 2a - 4)(a⁴ - 2a³ + 8a² + 8a + 16}
8. a⁶ - 18a³ + 125
Ans.
a⁶ - 18a³ + 125
= a⁶ + 27a³ + 125 - 45a³
= (a²)³ + (3a)³ + (5)³ - 3.a².3a.5
= {a² + 3a + 5}{(a²)² + (3a)² + (5)² - a².3a - 3a.5 - 5.a²}
= (a² + 3a + 5)(a⁴ + 9a² + 25 - 3a³ - 15a - 5a²)
= (a² + 3a + 5)(a⁴ - 3a³ + 4a² - 15a + 25)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন (a² + 3a + 5)(a⁴ - 3a³ + 4a² - 15a + 25)
9. p³(q - r)³ + q³(r - p)³ + r³(p - q)³
Ans.
p³(q - r)³ + q³(r - p)³ + r³(p - q)³
= (pq - pr)³ + (qr - pq)³ + (pr - qr)³
ধরি, (pq - pr) = x , (qr - pq) = y , এবং (pr - qr) = z
∴ x + y + z = (pq - pr) + (qr - pq) + (pr - qr))
= pq - pr + qr - pq + pr - qr)
= 0
আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 [যেহেতু (x + y + z) = 0]
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
∴ p³(q - r)³ + q³(r - p)³ + r³(p - q)³
= (pq - pr)³ + (qr - pq)³ + (pr - qr)³
= x³ + y³ + z³ [যেমনটি ধরা হয়েছে]
= 3xyz [আগেই প্রমাণিত]
= 3(pq - pr)(qr - pq)(pr - qr) [মান বসিয়ে পাই]
= 3pqr(q - r)(r - p)(p - q)
= 3pqr(p - q)(q - r)(r - p)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন 3pqr(p - q)(q - r)(r - p)
10. $p³$ + $\frac{1}{p³}$ + $\frac{26}{27}$
Ans.
$p³$ + $\frac{1}{p³}$ + $\frac{26}{27}$
= $p³$ + $\frac{1}{p³}$ - $\frac{1}{27}$ + $\frac{27}{27}$
= $p³$ + $(\frac{1}{p})^3$ + $(-\frac{1}{3})^3$ - $3.p.\frac{1}{p}(-\frac{1}{3})^3$
= {$p$ + $\frac{1}{p}$ + $(-\frac{1}{3})$}{$p²$ + $(\frac{1}{p})^2$ + $(-\frac{1}{3})^2$ - $p.\frac{1}{p}$ - $\frac{1}{p}.(-\frac{1}{3})$ - $(-\frac{1}{3}).p$}
= ($p$ + $\frac{1}{p}$ - $\frac{1}{3}$)($p²$ + $\frac{1}{p²}$ + $\frac{1}{9}$ - $1$ + $\frac{1}{3p}$ + $\frac{p}{3}$)
= ($p$ + $\frac{1}{p}$ - $\frac{1}{3}$)($p²$ + $\frac{1}{p²}$ - $\frac{8}{9}$ + $\frac{1}{3p}$ + $\frac{p}{3}$)
উত্তর: নির্ণয় উৎপাদন ($p$ + $\frac{1}{p}$ - $\frac{1}{3}$)($p²$ + $\frac{1}{p²}$ - $\frac{8}{9}$ + $\frac{1}{3p}$ + $\frac{p}{3}$)
0 মন্তব্যসমূহ
Your comment will be visible after approval