দশম শ্রেণীর অংক - কষে দেখি 1:1 || Class X - Math - Exercise 1:1

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1:1

    Quadratic Equations with One Variable 

দশম শ্রেণী

অংক

কষে দেখি - 1:1

একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

1 . নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি। 
(i) x² – 7x + 2 
(ii) 7x⁵ - x(x + 2) 
(iii) 2x(x + 5) + 1 
(iv) 2x - 1

উত্তর:

(i) x² – 7x + 2 

এখানে চলরাশিটি হল x । এবং x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 । তাই বলা যায়  x² – 7x + 2 একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(ii) 7x⁵ - x(x + 2)

    = 7x⁵ - x² + 2x 

এখানে চলরাশিটি হল x । এবং x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 । তাই বলা যায়  7x⁵ - x(x + 2) একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

(iii) 2x(x + 5) + 1 

     = 2x² + 10x + 1

এখানে চলরাশিটি হল x । এবং x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 । তাই বলা যায়  2x(x + 5) + 1 একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(iv) 2x - 1

এখানে চলরাশিটি হল x । এবং x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1 । তাই বলা যায়  2x - 1 একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

2 . নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি । 
(i) x − 1 + $\frac1x$= 6,   (x ≠ 0) 
(ii) x + $\frac3x$ = x²,  (x ≠ 0) 
(iii) x² – 6$\sqrt{x}$ + 2 = 0 
(iv) (x – 2)² = x² – 4x + 4 

উত্তর:

(i) x − 1 + $\frac1x$= 6,   (x ≠ 0)

বা, x² - x + 1 = 6x

বা, x² - x + 1 - 6x = 0

বা, x² - 7x + 1 = 0

অর্থাৎ x − 1 + $\frac1x$= 6,   (x ≠ 0) সমীকরণটি ax² + bc + c = 0 আকারে লেখা যায়, যেখানে, a = 1, b = -7, এবং c = 1 ।

(ii) x + $\frac3x$ = x²,  (x ≠ 0) 

বা, x² + 3 = x³

বা, x³ - x² - 3 = 0

অর্থাৎ x + $\frac3x$ = x²,  (x ≠ 0)  সমীকরণটি ax² + bc + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

(iii) x² – 6$\sqrt{x}$ + 2 = 0

বা, x² + 2 = 6$\sqrt{x}$

বা, (x² + 2)² = (6$\sqrt{x}$)²

বা, x⁴ + 4x² + 4 = 36x

বা, x⁴ + 4x² - 36x + 4 = 0

অর্থাৎ  x² – 6$\sqrt{x}$ + 2 = 0 সমীকরণটি ax² + bc + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

(iv) (x – 2)² = x² – 4x + 4 

বা, x² - 4x + 4 = x² – 4x + 4 

বা, 0 = 0

অর্থাৎ (x – 2)² = x² – 4x + 4 সমীকরণটি ax² + bc + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

3. x⁶ - x³ = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি । 

উত্তর:

      x⁶ - x³ = 0 

বা, (x³)² - x³ = 0

বা,  (x³)² + (-)x³ + 0 = 0

অর্থাৎ x³ এর সাপেক্ষে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।

4. (i) (a - 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a- এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।

উত্তর: 

সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যখন x² এর সহগের মান 0 হবে।

অর্থাৎ (a - 2) = 0

   বা, a - 2 = 0

   বা, a = 2

Ans. a = 2 মানের জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।

 (ii) $\frac{x}{4-x}$ = $\frac{1}{3x}$ , (x ≠ 0 , x ≠ 4) -কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x- এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি । 

উত্তর:

      $\frac{x}{4-x}$ = $\frac{1}{3x}$

বা, x × 3x = 1(4 - x)

বা, 3x² = 4 - x

বা, 3x² + x - 4 = 0

এখন, 3x² + x - 4 = 0 সমীকরণকে ax² + bc + c =0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, x এর সহগ 1.

Ans. x এর সহগ 1.

(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4) (x + 3) + 2- কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত আকারে প্রকাশ করি । 

 উত্তর:

     3x² + 7x + 23 = (x + 4) (x + 3) + 2

বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 4x + 3x + 12 + 2

বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14

বা, 3x² + 7x + 23 - x² - 7x - 14 = 0

বা, 2x² + 9 = 0

Ans. দ্বিঘাত সমীকরণটি হল, 2x² + 9 = 0

(iv) (x + 2)³ = x(x² – 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x⁰ - এর সহগ লিখি । 

উত্তর: 

    (x + 2)³ = x(x² – 1)

বা, x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³ = x³ - x

বা, x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + x = 0

বা, 6x² + 13x + 8 = 0

Ans. দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 6x² + 13x + 8 = 0 এবং x² এর সহগ 6, x এর সহগ 13, x⁰ এর সহগ 6.

5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি । 

(i) 42 - কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় । 

উত্তর:

ধরি, 42 এর একটি অংশ x

∴ অপর অংশ (42 - x)

এখান প্রশ্নানুযায়ী,

      (42 - x) = x²

বা, (42 - x) = x²

বা, x² + x - 42 = 0

Ans.  x একটি অংশ ধরা হলে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x² + x – 42 = 0

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143

উত্তর:

 ধরি, একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা = (2x – 1)         [x এর যেকোন  মানের জন্য (2x – 1) সর্বদা অযুগ্ম হবে]

∴ পরবর্তী ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা = (2x – 1) + 2 = (2x + 1) 

এখান প্রশ্নানুযায়ী,

     (2x – 1)(2x + 1) = 143

বা, (2x)² - (1)² = 143

বা, 4x² - 1 = 143

বা, 4x² = 143 + 1

বা, 4x² = 144

বা, x² = 36

বা, x² - 36 = 0

Ans. ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা দুটি (2x – 1) ও (2x + 1) হলে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x² - 36 = 0

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313 

উত্তর:

ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও (x + 1)

এখন প্রশ্নানুযায়ী,

      x² + (x + 1)² = 313

বা, x² + x² + 2x + 1 = 313

বা, x² + x² + 2x + 1 - 313 = 0

বা, 2x² + 2x - 312 = 0

বা, x² + x - 156 = 0

Ans. ক্রমিক সংখ্যা দুটি x ও x + 1 হলে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x² + x − 156 = 0

6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি । 
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।

উত্তর:

ধরি,

আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার

আমারা জানি, 

আয়তক্ষেত্রের (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = (কর্ণের দৈর্ঘ্য)²

∴ প্রশ্নানুযায়ী, 

    (x + 3)² + x² = (15)²

বা, x² + 6x + 9 + x² = 225

বা, x² + 6x + 9 + x² - 225 = 0

বা, 2x² + 6x - 216 = 0

বা, x² + 3x - 108 = 0

Ans. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল  x² + 3x – 108 = 0 

(ii) এক ব্যক্তি ৪০ টাকায় কয়েক কি.গ্রা. চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কি.গ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কি.গ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো। 

উত্তর:

ধরি, ঐ ব্যক্তি ৪০ টাকায় x কি.গ্রা. চিনি ক্রয় করেন।

∴ 1 কি.গ্রা. চিনির মূল্য $\frac{80}{x}$ টাকা

আবার, ৪০ টাকায় (x + 4) কি.গ্রা. চিনি ক্রয় করলে 

 1 কি.গ্রা. চিনির মূল্য হবে $\frac{80}{x + 4}$ টাকা

∴ প্রশ্নানুযায়ী, 

      $\frac{80}{x}$ =  $\frac{80}{x + 4}$ + 1

বা, $\frac{80}{x}$ =  $\frac{80 + x + 4}{x + 4}$

বা, $\frac{80}{x}$ =  $\frac{x + 84}{x + 4}$

বা, 80 × (x + 4) = x(x + 84)

বা, 80x + 320 = x² + 84x

বা, x² + 84x - 80x - 320 = 0

বা, x² + 4x - 320 = 0

Ans.  x কি.গ্রা. চিনির মূল্য ৪০ টাকা হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 4x – 320 = 0

(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত ।

উত্তর:

ধরি, প্রথমে ট্রেনটির গতিবেগ  x কিমি. / ঘন্টা

∴ 300 কিমি. দূরের স্টেশনে যেতে সময় লাগবে $\frac{300}{x}$ ঘন্টা

আবার, ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, 300 কিমি. দূরের স্টেশনে যেতে সময় লাগবে $\frac{300}{x + 5}$ ঘন্টা

∴ প্রশ্নানুযায়ী, 

  $\frac{300}{x}$ = $\frac{300}{x + 5}$ + 2

বা,  $\frac{300}{x}$ = $\frac{300 +2(x + 5)}{x + 5}$

বা,  $\frac{300}{x}$ = $\frac{300 + 2x + 10}{x + 5}$

বা,  $\frac{300}{x}$ = $\frac{2x + 310}{x + 5}$

বা,  300(x + 5) = x(2x + 310)

বা,  300x + 1500 = 2x² + 310x

বা,  2x² + 310x - 300x - 1500 = 0

বা,  2x² + 10x - 1500 = 0

বা,  x² + 5x - 750 = 0

Ans.  প্রথমে ট্রেনটির সমবেগ x কিমি . / ঘন্টা হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল  x² + 5x – 750 = 0

 (iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো । 

ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য x টাকা

আবার ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য 336 টাকা

∴ ঘড়িটি বিক্রি করে লাভ = (336 - x) টাকা

এবং ঘড়িটি বিক্রি করে শতকরা লাভ = $\frac{(336 - x)×100}{x}$

∴  প্রশ্নানুযায়ী,

    $\frac{(336 - x)×100}{x}$ = x

বা, (336 - x)×100 = x × x

বা, 33600 - 100x = x²

বা, x² + 100x - 33600 = 0

Ans. ক্রয়মূল্য x টাকা হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 100 x − 33600 = 0

(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি . হলে , রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি . গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে । 

উত্তর:

ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ x কিমি./ ঘন্টা

দেওয়া আছে স্রোতের বেগ 2 কিমি./ ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x + 2) কিমি./ ঘন্টা

এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (x - 2) কিমি./ ঘন্টা

∴  প্রশ্নানুযায়ী,

     $\frac{21}{(x+2)}$ + $\frac{21}{(x-2)}$ = 10

বা, $\frac{21(x-2) + 21(x+2)}{(x+2)(x-2)}$ = 10

বা, $\frac{21x-42+21x+42}{x²-4}$ = 10

বা, 42x = 10x² - 40

বা, 10x² - 40 - 42x = 0

বা, 10x² - 42x - 40 = 0

বা, 5x² - 21x - 20 = 0

Ans.  যদি স্থির জলে নৌকার বেগ x কিমি./ ঘন্টা হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল   5x² – 21 x – 20 = 0

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।

উত্তর:

ধরি, মহিম একা কাজটি সম্পূর্ণ করে x ঘন্টায়।

অর্থাৎ মহিম  1 ঘন্টায় করে $\frac{1}{x}$ অংশ কাজ 

∴       মহিম  2 ঘন্টায় করে $\frac{2}{x}$ অংশ কাজ 

এবং মজিদ একা কাজটি সম্পূর্ণ করে (x + 3) ঘন্টায়

অর্থাৎ মজিদ 1 ঘন্টায় করে $\frac{1}{x+3}$ অংশ কাজ

∴        মজিদ 1 ঘন্টায় করে $\frac{2}{x}$ অংশ কাজ 

∴  প্রশ্নানুযায়ী,

     $\frac{2}{x}$ + $\frac{2}{x+3}$ = 1

বা, $\frac{2(x+3)+2x}{x(x+3)}$ = 1

বা, $\frac{2x+6+2x}{x²+3x}$ = 1

বা, $\frac{6+4x}{x²+3x}$ = 1

বা, $6+4x = x²+3x$

বা, $x²+3x-6-4x=0$

বা, $x²-x-6=0$

Ans.  যদি মহিম একা x ঘন্টায় কাজটি সম্পূর্ণ করে তবে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² – x – 6 = 0

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। 

উত্তর:

ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি x

∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি হল x+6

∴  প্রশ্নানুযায়ী,

      {10×x + (x + 6)} - x(x + 6) = 12

বা, 10x + x + 6 - x² - 6x - 12 = 0

বা, 5x - x² - 6 = 0

বা, x² - 5x + 6 = 0

Ans.  দশক স্থানীয় অঙ্কটি x হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² – 5x + 6 = 0

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

উত্তর:

ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া

   রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 45 মিটার ও 40 মিটার ।

∴ রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে (45 + 2x) মিটার ও (40 + 2x) মিটার

∴  প্রশ্নানুযায়ী,

     (45 + 2x)(40 + 2x) - 45 × 40 = 450

বা, 45 × 40 + 80x + 90x + 4x² - 45 × 40 = 450

বা, 4x² + 170x - 450 = 0

বা, 2x² + 85x - 225 = 0

Ans. রাস্তাটি x মিটার চওড়া হলে নির্ণয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x² + 85x – 225 = 0