কষে দেখি 5.2 - অনুপাত ও সমানুপাত - দশম শ্রেণী || Exercise 5.2 - Ratio and Proportion - Class X

 কষে দেখি 5.2 - অনুপাত ও সমানুপাত - দশম শ্রেণী

অংক :: গণিত প্রভা

Exercise 5.2 - Ratio and Proportion - Class X

অনুপাত ও সমানুপাত

1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে $x$-এর মান নির্ণয় করি।

(i) $10:35::x:42$ 

উত্তর:

$10 : 35 : : x : 42$ 

∴   $\frac{10}{35}$ = $\frac{x}{42}$

বা, $35x$ = $42×10$

বা, $x$ = $\frac{42×10}{35}$

বা, $x$ = $12$

Ans. প্রদত্ত সমানুপাতে $x$-এর মান $12$

(ii) $x : 50 : : 3 : 2$ 

উত্তর:

$x:50::3:2$ 

∴ $\frac{x}{50}$ = $\frac{3}{2}$

বা, $2x$ = $50×3$

বা, $x$ = $\frac{50×3}{2}$

বা, $x$ = $75$

Ans. প্রদত্ত সমানুপাতে $x$-এর মান $75$

2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি:

(i) $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$  -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

উত্তর:

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$

সুতরাং $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:: \frac{1}{5}:x$

বা, $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}$ = $\frac{\frac{1}{5}}{x}$

বা, $\frac{1}{3}×x$ = $\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$

বা, $\frac{x}{3}$ = $\frac{1}{20}$

বা, $x$ = $\frac{1}{20}×3$

বা, $x$ = $\frac{3}{20}$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $\frac{3}{20}$

(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা. 

উত্তর:

9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.  -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$ কিগ্রা.

∴  9.6 কিগ্রা. : 7.6 কিগ্রা. : : 28.8 কিগ্রা. : $x$ কিগ্রা.

বা, $9.6 : 7.6 : : 28.8 : x$

বা, $\frac{9.6}{7.6}$ = $\frac{28.8}{x}$

বা, $9.6 × x$ = $28.8 × 7.6$

বা, $x$ = $\frac{28.8×7.6}{9.6}$

বা, $x$ = $\frac{288×76×10}{96×10×10}$

বা, $x$ = $\frac{228}{10}$

বা, $x$ = $22.8$

অর্থাৎ চতুর্থ সমানুপাতী $22.8$ কিগ্রা.

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $22.8$ কিগ্রা.

(iii) $x²y, y²z, z²x$

উত্তর:

$x²y, y²z, z²x$ -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $a$

∴     $x²y : y²z : : z²x : a$

বা, $\frac{x²y}{y²z}$ = $\frac{z²x}{a}$

বা, $x²y × a$ = $z²x × y²z$

বা, $a$ = $\frac{z²x × y²z}{x²y}$

বা, $a$ = $\frac{yz³}{x}$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $\frac{yz³}{x}$

(iv) $(p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)$

উত্তর:

$(p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)$ -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$

∴ $(p-q) : (p²-q²) : : (p²-pq+q²) : x$

বা, $\frac{(p-q)}{(p²-q²)}$ = $\frac{(p²-pq+q²)}{x}$

বা, $(p-q) × x$ = $(p²-pq+q²) × (p²-q²)$

বা, $x$ = $\frac{(p²-pq+q²) × (p²-q²)}{(p-q)}$

বা, $x$ = $\frac{(p²-pq+q²) × (p+q) × (p-q)}{(p-q)}$

বা, $x$ = $(p+q)(p²-pq+q²)$

বা, $x$ = $(p³+q³)$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $(p³+q³)$

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) 5, 10 

উত্তর:

5, 10 -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 5, 10 ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴  $\frac{5}{10}$ = $\frac{10}{x}$

বা, $5 × x$ = $10 × 10$

বা, $x$ =  $\frac{10 × 10}{5}$

বা, $x$ = $20$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $20$

(ii) 0.24, 0.6 

উত্তর:

0.24, 0.6 -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 0.24, 0.6 ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{0.24}{0.6}$ = $\frac{0.6}{x}$

বা, $0.24 × x$ = $0.6 × 0.6$

বা, $x$ = $\frac{0.6 × 0.6}{0.24}$

বা, $x$ = $\frac{6 × 6 × 100}{24 × 10 × 10}$

বা, $x$ = $\frac{3}{2}$

বা, $x$ = $1.5$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $1.5$

(iii) $p³q², q²r$ 

উত্তর:

$p³q², q²r$ -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ $p³q², q²r$ ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{p³q²}{q²r}$ = $\frac{q²r}{x}$

বা, $p³q² × x$ = $q²r × q²r$

বা, $x$ = $\frac{q²r × q²r}{p³q²}$

বা, $x$ = $\frac{q²r²}{p³}$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $\frac{q²r²}{p³}$

(iv) $(x-y)², (x²-y²)²$

উত্তর:

$(x-y)², (x²-y²)²$ -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $a$

অর্থাৎ $(x-y)², (x²-y²)²$ ও $a$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴  $\frac{(x-y)²}{(x²-y²)²}$ = $\frac{(x²-y²)²}{x}$

বা, $(x-y)² × a$ = $(x²-y²)² × (x²-y²)²$

বা, $a$ =  $\frac{(x²-y²)² × (x²-y²)²}{(x-y)²}$

বা, $a$ = $\frac{(x+y)²(x-y)² × (x+y)²(x-y)²}{(x-y)²}$

বা, $a$ = $(x+y)⁴(x-y)²$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $(x+y)⁴(x-y)²$

4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) 5 এবং 80 

উত্তর:

5 এবং 80 -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, 5 এবং 80 -এর মধ্যসমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 5, $x$ ও 80 ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{5}{x}$ = $\frac{x}{80}$

বা, $x × x$ = $5 × 80$

বা, $x²$ = $400$

বা, $x$ = $\sqrt{400}$

বা, $x$ = $\sqrt{20×20}$

বা, $x$ = $20$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $20$

(ii) 8.1 এবং 2.5 

উত্তর:

8.1 এবং 2.5 -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, 8.1 এবং 2.5 -এর মধ্যসমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 8.1, $x$ ও 2.5 ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{8.1}{x}$ = $\frac{x}{2.5}$

বা, $x × x$ = $8.1 × 2.5$

বা, $x²$ = $8.1 × 2.5$

বা, $x$ = $\sqrt{8.1 × 2.5}$

বা, $x$ = $\sqrt{\frac{81×25}{10×10}}$

বা, $x$ = $\sqrt{\frac{9×9×5×5}{10×10}}$

বা, $x$ = $\frac{9×5}{10}$

বা, $x$ = $\frac{45}{10}$

বা, $x$ = $4.5$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $4.5$

(iii) $x³y$ এবং $xy³$

উত্তর: 

$x³y$ এবং $xy³$ -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, $x³y$ এবং $xy³$ -এর মধ্যসমানুপাতী $a$

অর্থাৎ $x³y, a$ ও $xy³$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{x³y}{a}$ = $\frac{a}{xy³}$

বা, $a × a$ = $x³y × xy³$

বা, $a²$ = $x⁴y⁴$

বা, $a$ = $\sqrt{x⁴y⁴}$

বা, $a$ = $\sqrt{x²y² × x²y²}$

বা, $a$ = $x²y²$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $x²y²$

(iv) $(x-y)², (x+y)²$

উত্তর:

$(x-y)²$ এবং $(x+y)²$ -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, $(x-y)²$ এবং $(x+y)²$ -এর মধ্যসমানুপাতী $a$

অর্থাৎ $(x-y)², a$ ও $(x+y)²$ ক্রমিক সমানুপাতী 

∴ $\frac{(x-y)²}{a}$ = $\frac{a}{(x+y)²}$

বা, $a × a$ = $(x-y)²×(x+y)²$

বা, $a²$ = $(x-y)²×(x+y)²$

বা, $a$ = $\sqrt{(x-y)²×(x+y)²}$

বা, $a$ = $(x-y)×(x+y)$

বা, $a$ = $x²-y²$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $x²-y²$

5. যদি a : b এবং c : d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

উত্তর: যদি a : b এবং c : d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর: তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে। যাদের একটি ক্রমবর্ধমান সমানুপাতী সংখ্যার সারি ও একটি ক্রমহ্রাসমান সমানুপাতী সংখ্যার সারি।

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।

উত্তর: প্রদত্ত ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6

এখন মনে করি পরবর্তী সমানুপাতীগুলো হল $a, b, c.$

এবং আমরা সমানুপাতীগুলো নিন্মলিখিত ভাবে লিখতে পারি।

$\frac{2}{6}$ = $\frac{6}{a}$ = $\frac{a}{b}$ = $\frac{b}{c}$

উপরউক্ত সম্পর্ক থেকে বোঝা যাচ্ছে অনুপাত গুলো 1 : 3 অনুসারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

∴ $\frac{2}{6}$ = $\frac{6}{18}$ = $\frac{18}{54}$ = $\frac{54}{162}$

সুতরাং পঞ্চম সমানুপাতীটি হল $162$ ।

Ans. পঞ্চম সমানুপাতীটি হল $162$ ।

8. $6, 15, 20$ ও $43$-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, প্রতিটি সংখ্যার সাথে $x$ যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

অর্থাৎ $6+x : 15+x : : 20+x : 43+x$

∴ $\frac{6+x}{15+x}$ = $\frac{20+x}{43+x}$

বা, $(6+x)(43+x)$ = $(20+x)(15+x)$

বা, $258+49x+x²$ = $300+35x+x²$

বা, $49x-35x$ = $300-258$

বা, $14x$ = $42$

বা, $x$ = $\frac{42}{14}$ 

বা, $x$ = $3$

Ans. প্রতিটি সংখ্যার সঙ্গে $3$ যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

9. $23, 30, 57$ এবং $78$ -এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি। 

উত্তর:

ধরি, প্রতিটি সংখ্যা থেকে $x$ বিযোগ করলে বিযোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

অর্থাৎ $23-x : 30-x : : 57-x : 78-x$

∴ $\frac{23-x}{30-x}$ = $\frac{57-x }{78-x}$

বা, $(23-x)(78-x)$ = $(57-x )(30-x)$

বা, $1794-101x+x²$ = $1710-87x+x²$

বা, $-101x+87x$ = $1710-1794$

বা, $-14x$ = $-84$

বা, $14x$ = $84$

বা, $x$ = $\frac{84}{14}$ 

বা, $x$ = $6$

Ans. প্রতিটি সংখ্যা থেকে $6$ বিযোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

10. $p, q, r, s$-এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, প্রতিটি সংখ্যা থেকে $x$ বিযোগ করলে বিযোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

অর্থাৎ $p-x : q-x : : r-x : s-x$

∴ $\frac{p-x}{q-x}$ = $\frac{r-x }{s-x}$

বা, $(p-x)(s-x)$ = $(r-x )(q-x)$

বা, $ps-px-sx+x²$ = $qr-rx-qx+x²$

বা, $-px-sx+rx+qx$ = $qr-ps$

বা, $rx+qx-px-sx$ = $qr-ps$

বা, $x(r+q-p-s)$ = $(qr-ps)$

বা, $x$ = $\frac{(qr-ps)}{(r+q-p-s)}$ 

বা, $x$ = $\frac{qr-ps}{r+q-p-s}$ 

Ans. ধরি, প্রতিটি সংখ্যা থেকে $\frac{qr-ps}{r+q-p-s}$  বিযোগ করলে বিযোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

আরও পড়ুনঃ 

কষে দেখি 5.1 - অনুপাত ও সমানুপাত - দশম শ্রেণী || Exercise 5.1 - Ratio and Proportion - Class X