অনুপাত ও সমানুপাত - কষে দেখি 5.1 - দশম শ্রেণী || Ratio and Proportion - Exercise 5.1 - Class X

অনুপাত ও সমানুপাত - কষে দেখি 5.1 - দশম শ্রেণী

Ratio and Proportion - Exercise 5.1 - Class X

1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত , লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখ ।

(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস

উত্তর:

4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস এর অনুপাত

= 4 মাস : 1 বছর 6 মাস

= 4 মাস : (12 + 6) মাস

= 4 মাস : 18 মাস

= 4 : 18

= 2 : 9             ইহা লঘু অনুপাত    

উত্তরঃ  2 : 9    । ইহা লঘু অনুপাত  

(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা

উত্তর:

75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা এর অনুপাত

= 75 পয়সা : 1 টাকা 25 পয়সা

= 75 পয়সা : (100 + 25) পয়সা

= 75 পয়সা : 125 পয়সা

= 75 : 125

= 3 : 5             ইহা লঘু অনুপাত

উত্তরঃ  3 : 5         । ইহা লঘু অনুপাত

(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার

উত্তর:

60 সেমি. এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত

= 60 সেমি. : 0.6 মিটার

= 60 সেমি. : 0.6 × 100 সেমি.

= 60 সেমি. : 60 সেমি.

= 60 : 60

= 1 : 1           ইহা সাম্যানুপাত

উত্তরঃ  1 : 1        ।  ইহা সাম্যানুপাত

(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম

উত্তর:

1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত

= 1.2 কিগ্রা. : 60 গ্রাম

= 1.2 × 1000 গ্রাম : 60 গ্রাম

= 1200 গ্রাম : 60 গ্রাম

= 1200 : 60

= 20 : 1             ইহা গুরু অনুপাত

উত্তরঃ  20 : 1         । ইহা গুরু অনুপাত

2. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি । 

উত্তর:

p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি হল -

   p কিগ্রা. : q গ্রাম = p × 1000 গ্রাম : q গ্রাম

                            = 1000p গ্রাম : q গ্রাম

                            = 1000p : q

উত্তরঃ  1000p : q

(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি ।

উত্তর:

x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে যখন রাশি দুটোর একক একই একক হবে। অর্থাৎ মাসকে দিনে পরিণত করতে হবে। 

x দিন : z মাস = x দিন : z × 30 দিন

                    = x দিন : 30z দিন

                    = x : 30z

উত্তরঃ  x : 30z

(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি ।

উত্তর:

একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত একটি সাম্যানুপাত।

উদাহরণ স্বরূপ ধরি, x : y একটি অনুপাত।

 x : y এর  ব্যস্ত অনুপাতটি হল y : x

এখন এদের মিশ্র অনুপাত = xy : yx

                                   = 1 : 1 যা একটি সাম্যানুপাত।

উত্তরঃ  সাম্যানুপাত

(iv) $\frac ab : c$, $\frac bc : a$, $\frac ca : b$- এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।

উত্তর:

$\frac ab : c$, $\frac bc : a$, $\frac ca : b$- এর মিশ্র অনুপাত 

= $\frac ab × \frac bc × \frac ca : c × a × b$

= 1 : abc

উত্তরঃ  1 : abc

(v) x² : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z² হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, a : b এবং x² : yz এর মিশ্র অনুপাত হবে xy : z² ।

অর্থাৎ, a × x² : b × yz = xy : z²

       বা, ax² : byz = xy : z²

       বা, $\frac{ax²}{byz}$ =  $\frac{xy}{z²}$

       বা, $\frac{a}{b}$ =  $\frac{xy × yz}{z² × x²}$

       বা, $\frac{a}{b}$ =  $\frac{y × y}{z × x}$

       বা, $\frac{a}{b}$ =  $\frac{y²}{xz}$      

       ∴ a : b = y² : xz

উত্তরঃ  y² : xy

(vi) x²:yz x, y²:zx y, z²:yx z অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি । 

 উত্তর:

$x²$ : $\frac{yz}{x}$, $y²$ : $\frac{zx}{y}$ ও $z²$ : $\frac{yx}{z}$ এর ব্যস্ত অনুপাতগুলি হল $\frac{yz}{x}$ : $x²$, $\frac{zx}{y}$ : $y²$ ও $\frac{yx}{z}$ :  $z²$

ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত $\frac{yz}{x}$ × $\frac{zx}{y}$ × $\frac{yx}{z}$ : $x²$ ×$y²$ × $z²$

বা, $xyz$ : $x²y²z²$

বা, 1 : $xyz$

উত্তরঃ  1 : xyz

3 . নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি: 
(i) 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 

উত্তর:

4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাত = 4 × 5 × 9 : 5 × 7 × 11

= 36 : 77

উত্তরঃ  36 : 77

(ii) (x + y) : (x - y) , (x² + y²) : (x + y)² এবং (x² - y²)² : (x⁴ - y⁴) 

উত্তর:

(x + y) : (x - y) , (x² + y²) : (x + y)² এবং (x² - y²)² : (x⁴ - y⁴) এর মিশ্র অনুপাত =  (x + y)(x² + y²)(x² - y²)² : (x - y)(x + y)²(x⁴ - y⁴) 

=  (x + y)(x² + y²)(x² - y²)² : (x - y)(x + y)²(x² + y²)(x² - y²)

=  (x² - y²) : (x - y)(x + y)

= (x + y)(x - y) : (x - y)(x + y)

= 1 : 1

উত্তরঃ  1 : 1

4 . (i) A : B = 6 : 7 এবং B : C = 8 : 7 হলে, A : C নির্ণয় করি । 

উত্তর:

এখানে, A : B = 6 : 7 ⇒ $\frac AB$ = $\frac 67$ 

এবং B : C = 8 : 7 ⇒ $\frac BC$ = $\frac 87$

∴  $\frac AB$ × $\frac BC$ =  $\frac 67$ × $\frac 87$

বা,  $\frac AC$ =  $\frac {48}{49}$

বা,  $A : C$=  $48 : 49$

উত্তরঃ   A : C =  48 : 49

(ii) A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হলে, A : D নির্ণয় করি। 

উত্তর:

এখানে, A : B = 2 : 3 ⇒ $\frac AB$ = $\frac 23$  

B : C = 4 : 5 ⇒ $\frac BC$ = $\frac 45$

এবং C : D = 6 : 7⇒ $\frac CD$ = $\frac 67$

∴   $\frac AB$ × $\frac BC$ × $\frac CD$ =  $\frac 23$ × $\frac 45$ × $\frac 67$

বা,  $\frac AD$ =  $\frac {16}{35}$

বা,  $A : D$=  $16 : 35$

উত্তরঃ  A : D = 16 : 35

(iii ) যদি A : B = 3 : 4 এবং B : C = 2 : 3 হয় , তাহলে A : B : C নির্ণয় করি । 

উত্তর:

A : B = 3 : 4 = 3 : 4

B : C = 2 : 3 = 4 : 6

∴  A : B : C = 3 : 4 : 6

উত্তরঃ  A : B : C = 3 : 4 : 6

(iv) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7 হলে , x : y : z নির্ণয় করি । 

উত্তর:

x : y = 2 : 3 = 8 : 12

y : z = 4 : 7 = 12 : 21

x : y : z = 8 : 12 : 21

উত্তরঃ  x : y : z = 8 : 12 : 21

5. (i) x : y = 3 : 4 হলে, (3y - x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি । 

উত্তর:

x : y = 3 : 4

ধরি, x = 3k

∴ y = 4k

এখন, (3y - x) : (2x + y) = (3.4k - 3k) : (2.3k + 4k)

                                     = (12k - 3k) : (6k + 4k)

                                     = 9k : 10k

                                     = 9 : 10

উত্তরঃ  9 : 10

(ii) a : b = 8 : 7 হলে , দেখাই যে (7a - 3b) : (11a - 9b) = 7 : 5 

উত্তর:

a : b = 8 : 7

ধরি, a = 8k

b = 7k

L.H.S = (7a - 3b) : (11a - 9b)

         = (7.8k - 3.7b) : (11.8k - 9.7k)

         = (56k - 21b) : (88k - 63k)

         = 35k : 25k

         = 7 : 5

         = R.H.S (প্রমাণিত)

(iii) p : q = 5 : 7 এবং p - q = -4 হলে, 3p + 4q এর মান নির্ণয় করি । 

উত্তর:

p : q = 5 : 7

ধরি, p = 5x

q = 7x

এখানে, p - q = -4

বা, 5x - 7x = -4

বা, -2x = -4

বা, 2x = 4

বা, x = 2

∴ p = 5x = 5.2 = 10

এবং q = 7x = 7.2 = 14

∴ 3p + 4q = 3.10 + 4.14

= 30 + 56

= 86

উত্তরঃ  86

6. (i) (5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12 হলে, x : y নির্ণয় করি । 

উত্তর:

 (5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12

বা, $\frac{5x − 3y}{2x + 4y}$ = $\frac{11}{12}$

বা, 12.(5x − 3y) = 11.(2x + 4y)

বা, 60x - 36y = 22x + 44y

বা, 60x - 22x = 44y + 36y

বা, 38x = 80y

বা, $\frac xy$ = $\frac{80}{38}$

বা, $\frac xy$ = $\frac{40}{19}$

∴  x : y = 40 : 19

উত্তরঃ  40 : 19

( ii ) (3a + 7b) : (5a - 3b) = 5 : 3 হলে, a : b নির্ণয় করি । 

উত্তর:

 (3a + 7b) : (5a - 3b) = 5 : 3 

বা, $\frac{3a + 7b}{5a - 3b}$ = $\frac{5}{3}$

বা, 3.(3a + 7b) = 5.(5a - 3b)

বা, 9a + 21b = 25a - 15b

বা, 9a - 25a = - 15b - 21b

বা, -16a = -36b

বা, $\frac ab$ = $\frac{-36}{-16}$

বা, $\frac ab$ = $\frac{9}{4}$

∴ a : b = 9 : 4

উত্তরঃ  9 : 4

7. (i) (7x - 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x - 2y) : (3x + 4y) = 137 : 473 

উত্তর:

এখানে, 

(7x - 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11

বা, $\frac{7x - 5y}{3x + 4y}$ = $\frac{5}{3}$

বা, 11.(7x - 5y) = 7.(3x + 4y)

বা, 77x - 55y = 21x + 28y

বা, 77x - 21x = 28y + 55y

বা, 56x = 83y

বা, $\frac xy$ = $\frac{83}{56}$

 ∴ x : y = 83 : 56

ধরি, x = 83k এবং y = 56k

L.H.S. = (3x - 2y) : (3x + 4y)

           = (3.83k - 2.56k) : (3.83k + 4.56k)

           = (249k - 112k) : (249k + 224k)

           = 137k : 473k

           = 137 : 473

           = R.H.S. (প্রমাণিত)

(ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11 : 13

উত্তর:

এখানে, 

(10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5

বা, $\frac{10x + 3y}{5x + 2y}$ = $\frac{9}{5}$

বা, 5.(10x + 3y) = 9.(5x + 2y)

বা, 50x + 15y = 45x + 18y

বা, 50x - 45x = 18y - 15y

বা, 5x = 3y

বা, $\frac xy$ = $\frac{3}{5}$

∴ x : y = 3 : 5

ধরি, x = 3k এবং y = 5k

সুতরাং,

L.H.S. = (2x + y) : (x + 2y)

           = (2.3k + 5k) : (3k + 2.5k)

           = (6k + 5k) : (3k + 10k)

           = 11k : 13k

           = 11 : 13

           = R.H.S. (প্রমাণিত)

8. (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি । 

উত্তর:

ধরি, 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে x যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।

অর্থাৎ, (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11

বা, $\frac{2 + x}{5 + x}$ = $\frac{6}{11}$

বা, 11.(2 + x) = 6.(5 + x)

বা, 22 + 11x = 30 + 6x

বা, 11x - 6x = 30 - 22

বা, 5x = 8

বা, x = $\frac{8}{5}$

উত্তরঃ  $\frac{8}{5}$

(ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি । 

উত্তর:

ধরি, a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে

অর্থাৎ, (a - x) : (b - x) = m : n

বা, $\frac{a - x}{b - x}$ = $\frac{m}{n}$

বা, n.(a - x) = m.(b - x)

বা, an - nx = bm - mx

বা, mx - nx = bm - an

বা, x(m - n) = bm - an

বা, x = $\frac{bm - an}{m - n}$

উত্তরঃ  $\frac{bm - an}{m - n}$

(iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে ।

উত্তর:

ধরি, x সংখ্যাটি 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে।

2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত = 2 × 5 : 3 × 4

                                                  = 10 : 12

                                                  = 5 : 6

প্রশ্নানুসারে,

(4 + x) : (7 - x) = 5 : 6

বা, $\frac{4 + x}{7 - x}$ = $\frac{5}{6}$

বা, 6.(4 + x) = 5.(7 - x)

বা, 24 + 6x = 35 - 5x

বা, 6x + 5x = 35 - 24

বা, 11x = 11

বা, x = $\frac{11}{11}$

বা, x = 1

উত্তরঃ  1