Class VIII
Volume of cube
Math
অষ্টম শ্রেণী
অংক
কষে দেখি - 5.1
ঘনফল নির্ণয়
1. দুটি ঘনক তৈরি করি যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 1 সেমি .।
কতগুলি 1 সেমি . দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক জুড়ে এই বড়ো ঘনক পাব হিসাব করে লিখি ।
Ans. এই সমস্যাটির সমাধান নিজে করুন এবং এর উত্তর হিসেবে মিলিয়ে নিন - 125 টি 1 সেমি . দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক জুড়ে এই বড়ো ঘনক পাব ।
2. সুমস্ত অনেকগুলি 1 সেমি . দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরি করেছে। মনামী সেই ঘনকগুলি জোড়া লাগিয়ে বড়ো ঘনক তৈরির চেষ্টা করছে। হিসাব করে দেখি নীচের কোন সংখ্যক ঘনকের ক্ষেত্রে মনামী বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে ।
( i ) 100 ( ii ) 1000 ( iii ) 1331 ( iv ) 1210 ( v ) 3375 ( vi ) 2700
Ans. যে সব সংখ্যাগুলো পূর্ণ ঘন সংখ্যা শুধুমাত্র সেই সংখ্যক ঘনক দ্বারাই বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
এখন দেখা যাক কোন কোন সংখ্যক ঘনক দ্বারা বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
(i) 100
100 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
100 = 2×2 × 5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2² × 5²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 100 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব নয়।
(ii) 1000
1000 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1000 = 2×2×2 × 5×5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 5³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 1000 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
(iii) 1331
1331 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1331 = 11×11×11 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 11²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 1331 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
(iv) 1210
1210 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1210 = 2 × 5 × 11×11 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2 × 5 × 11²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 1210 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব নয়।
(v) 3375
3375 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
3375 = 3×3×3 × 5×5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 3³ × 5³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 3375 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
(vi) 2700
2700 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
2700 = 2×2 × 3×3×3 × 5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2² × 3³ × 5²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট 2700 সংখ্যক ঘনক দ্বারা একটি বড়ো ঘনক তৈরি করা সম্ভব নয়।
উত্তর: (v) 3375 = 15³ সংখ্যক ঘনক দ্বারা তৈরি ঘনক সবচেয়ে বড় ঘনক।
3. নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয় লিখি ।
( i ) 216 ( ii ) 343 ( iii ) 1024 ( iv ) 324 ( v ) 1744 ( vi ) 1372
Ans.
(i) 216
216 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
216 = 2×2×2 × 3×3×3 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 3³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
Ans. 216 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
(ii) 343
343 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
343 = 7×7×7 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 7³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
Ans. 343 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা।
(iii) 1024
1024 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1024 = 2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 × 2 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 2³ × 2³ × 2
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
Ans. 1024 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
(iv) 324
324 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
324 = 2×2 × 3×3×3 × 3 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
2² × 3³ × 3
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
Ans. 324 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
(v) 1744
1744 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1744 = 2×2×2 × 2 × 109 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 2 × 109
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
Ans. 1744 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
(vi) 1372
1372 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1372 = 2×2 × 7×7×7 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2² × 7³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
Ans. 1372 একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
4. দেবনাথ একটি আয়তঘন তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 4 সেমি., 3 সেমি., ও 3 সেমি.। হিসাব করে দেখি এইরকম কতগুলি আয়তঘন জুড়ে দেবনাথ ঘনক তৈরি করতে পারবে ।
Ans.
আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য = 4 সেমি
প্রস্থ = 3 সেমি
উচ্চতা = 3 সেমি
সুতরাং, আয়তঘনকের আয়তন = 4 × 3 × 3 ঘন সেমি.
আয়তঘনকের আয়তন পূর্ণঘন নয়। এই আয়তনকে যত দ্বারা গুণ করলে ইহা পূর্ণঘন হবে, তত সংখ্যাই হবে আয়তঘনকের সংখ্যা যেগুলো জুড়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা সম্ভব।
4 × 3 × 3 কে পূর্ণঘনক করতে হলে গুণ করতে হবে 4 × 4 × 3 দ্বারা বা 48 দ্বারা।
অর্থাৎ ওই রকম 48 টি আয়তঘনক জুড়ে একটি ঘনক তৈরি করা সম্ভব হবে।
উত্তর: 48 টি আয়তঘনক জুড়ে একটি ঘনক তৈরি করা সম্ভব হবে।
5. নীচের সংখ্যাগুলিকে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে হিসাব করে লিখি ।
( i ) 675 ( ii ) 200 ( iii ) 108 ( iv ) 121 ( v ) 1225
Ans.
(i) 675
675 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
675 = 3×3×3 × 5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 3³ × 5²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 5 দ্বারা গুণ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 675 কে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(ii) 200
200 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
200 = 2×2×2 × 5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 5²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 5 দ্বারা গুণ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 200 কে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(iii) 108
108 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
108 = 3×3×3 × 2×2 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 3³ × 2²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 2 দ্বারা গুণ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 108 কে 2 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(iv) 121
121 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
121 = 11×11 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 11²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 11 দ্বারা গুণ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 11 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 121 কে 11 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(v) 1225
1225 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1225 = 5×5 × 7×7 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 5² × 7²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 5×7 দ্বারা গুণ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 35 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 1225 কে 35 দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
6. নীচের সংখ্যাগুলিকে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে হিসাব করে লিখি ।
( i ) 7000 ( ii ) 2662 ( iii ) 4394 ( iv ) 6750 ( v ) 675
(i) 7000
7000 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
7000 = 2×2×2 × 5×5×5 × 7 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 5³ × 7
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 7 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 7000 কে 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(ii) 2662
2662 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
2662 = 2 × 11×11×11 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2 × 11³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 2662 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(iii) 4394
4394 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
4394 = 2 × 13×13×13 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2 × 13³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 4394 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(iv) 6750
6750 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
6750 = 2 × 3×3×3 × 5×5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2 × 3³ × 5³
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 6750 কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
(v) 675
675 সংখ্যাটিকে উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
675 = 3×3×3 × 5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 3³ × 5²
ইহা একটি পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়।
সুতরাং সংখ্যাটিকে পূর্ণঘন করতে হলে 5×5 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটিকে 25 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে।
Ans. 675 কে 25 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ ঘন সংখ্যা হবে।
7. নীচের পূর্ণঘনসংখ্যাগুলি মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি ও ঘনমূল লিখি ।
(i) 512 (ii) 1728 (iii) 5832 (iv) 15625 (v) 10648
(i) 512
512 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
512 = 2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 2³ × 2³
∴ 512 -এর ঘনমূল = 2×2×2
= 8
Ans. 512 -এর ঘনমূল 8
(ii) 1728
1728 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
1728 = 2×2×2 × 2×2×2 × 3×3×3 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 2³ × 3³
∴ 1728 -এর ঘনমূল = 2×2×3
= 12
Ans. 1728 -এর ঘনমূল 12
(iii) 5832
5832 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
5832 = 2×2×2 × 3×3×3 × 3×3×3 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 3³ × 3³
∴ 5832 -এর ঘনমূল = 2×3×3
= 18
Ans. 5832 -এর ঘনমূল 18
(iv) 15625
15625 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
15625 = 5×5×5 × 5×5×5 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 5³ × 5³
∴ 15625 -এর ঘনমূল = 5×5
= 25
Ans. 15625 -এর ঘনমূল 25
(v) 10648
10648 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই।
10648 = 2×2×2 × 11×11×11 [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]
= 2³ × 11³
∴ 10648 -এর ঘনমূল = 2×11
= 22
Ans. 10648 -এর ঘনমূল 22
0 মন্তব্যসমূহ
Your comment will be visible after approval