কষে দেখি - 4 - Class VII - Exercise 4 - পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ - Addition, Subtraction, Multiplication, Division of Integers

 

কষে দেখি - 4 

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

 Class VII - Exercise 4 

Addition, Subtraction, Multiplication, Division of Integers

প্রশ্নমালায় প্রবেশ করার আগে আমরা জানব বীজগাণিতিক নিয়মে কীভাবে + , - , × , ÷ করা যায়।

এই অংক গুলোকে দুটি ভাগে ভাগ করে চিন্তা করলে সুবিধা হবে, ভাগ গুলো হলো  + , -  এবং × , ÷ ।

 ➡ (+) ও (-) এর ক্ষেত্রে আমরা সংখ্যারেখায় দেখেছি (+) মানের জন্য ডান দিকে যাব আর (-) মানের জন্য বাম দিকে যাব। এভাবে যে মানে এসে আমারা থামবো সেটি হলো নির্ণয় মান।

  এখানেও আমরা অনুরূপ ভাবে সহজ উপায়ে কোন সংখ্যামালার মান নির্ণয় করব। যেমন দুটো (+) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি একটি (+) মানের সাথে আরো একটি  (+) মান যুক্ত হল। অর্থাৎ  (+) মান আরও বৃদ্ধি পেল। অর্থাৎ সংখ্যা দুটো যোগ হবে আর তাদের চিহ্ন হবে  (+)। 

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় +a+b = +(a+b)।

আবার, দুটো (-) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি একটি (-) মানের সাথে আরো একটি (-) মান যুক্ত হল। অর্থাৎ (-) মান আরও বৃদ্ধি পেল। অর্থাৎ সংখ্যা দুটো যোগ হবে আর তাদের চিহ্ন হবে (-)। 

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় -a-b = -(a+b)।

এবং 

একটি (+) মান ও একটি (-) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি (+) মান ও (-) মান এরা বিপরীত ধর্মী। অর্থাৎ (+) মান ও (-) মান এদের মধ্যে যে মান বড় হবে সে প্রধান হবে এবং সেই মানের চিহ্ন ফলে থাকবে এবং বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যা বিয়োগ হবে। 

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় +a-b = +(a-b)  [যদি a এর মান b থেকে বড় হয়]। অথবা, +a-b = -(b-a)  [যদি b এর মান a থেকে বড় হয়]।

সহজ ভাবে যোগ বিয়োগের সূত্র -

1. (+) এ (+) এ = (+) যোগ 

2. (-) এ (-) এ = (-) যোগ

3. (+) এ (-) এ = (যে সংখ্যার মান বড় তার চিহ্ন) বড় থেকে ছোট সংখ্যার বিযোগ

  ➡  × ও ÷ এর ক্ষেত্রে আমরা যে সূত্র মেনে চলব সেগুলো হল -

4. (+) × (+) = (+) সংখ্যা দুটোর গুণ 

  উদাহরণ: (+a) × (+b) = +ab

5. (-) × (-) = (+) সংখ্যা দুটোর গুণ 

  উদাহরণ: (-a) × (-b) = +ab

6. (+) × (-) = (-) সংখ্যা দুটোর গুণ

   উদাহরণ: (+a) × (-b) = -ab অথবা (-a) × (+b) = -ab 

7. (+) ÷ (+) = (+) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

   উদাহরণ: (+a) ÷ (+b) = +a/b

8. (-) × (-) = (+) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

   উদাহরণ: (-a) × (-b) = +a/b

9. (+) × (-) = (-) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

    উদাহরণ: (+a) × (-b) = -a/b অথবা (-a) × (+b) = -a/b 

1. মনে মনে হিসাব করি:

(a) (-10) × 4 = ☐

(b) (-15) × ☐ = -90

(c) 25 × ☐ = -125

(d) (-16) × ☐ = 96

(e) (-13) × ☐ = -104

(f) ☐ × 21 = -126

(g) ☐ × ☐ = -42

(h) ☐ × (-30) = 330

(i) -26 ÷ ☐ = 1

(j) ☐ ÷ 1 = -29

(k) ☐ ÷ (-59) = -1

(l) 87 ÷ ☐ = -87

Answer :-

উত্তর দেওয়ার আগে আমরা জেনে নিই 

(a) (-10) × 4 = ☐

⇒(-10) × 4 = -40          

(b) (-15) × ☐ = -90

⇒ (-15) × 6 = -90

(c) 25 × ☐ = -125

⇒25 × (-5) = -125

(d) (-16) × ☐ = 96

⇒(-16) × (-6) = 96

(e) (-13) × ☐ = -104

⇒(-13) × 8 = -104

(f) ☐ × 21 = -126

⇒ (-6) × 21 = -126

(g) ☐ × ☐ = -42

⇒6 × (-7) = -42

(h) ☐ × (-30) = 330

⇒(-11) × (-30) = 330

(i) -26 ÷ ☐ = 1

⇒ -26 ÷ (-26) = 1

(j) ☐ ÷ 1 = -29

⇒(-29) ÷ 1 = -29

(k) ☐ ÷ (-59) = -1

⇒59 ÷ (-59) = -1

(l) 87 ÷ ☐ = -87

⇒87 ÷ (-1) = -87

2. জোসেফ একটি পরীক্ষায় 15 টি প্রশ্নের মধ্যে 9 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু বাকি 6 টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর পেয়ে সে মোট 33 নম্বর পেয়েছে। প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।

Answer:

জোসেফ মোট নম্বর পেয়েছে 33; 

জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে 9 টি। এবং প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 5।

∴ 9 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে 9×5 = 45 

আবার ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমে গেছে 45 - 33 = 12

∴ দেখা যাচ্ছে 6 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর।

∴ 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12

   1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে (-12) ÷ 6 = -2

উত্তর: প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে -2

3. রেহানা ও সায়ন দুজনেই পরীক্ষা দিয়েছে। প্রত্যেকের পরীক্ষায় মোট 12 টি প্রশ্ন ছিল।

(i) রেহানা ৪ টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং 4 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে 36 নম্বর পেয়েছে। কিন্তু প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর পেয়েছে। রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।

(ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে মোট কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করি।

Answer:

(i) রেহানা মোট নম্বর পেয়েছে 36; 

রেহানা ঠিক উত্তর দিয়েছে 8 টি। এবং প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 6।

∴ 8 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে 8×6 = 48

 আবার ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমে গেছে 48 - 36 = 12

∴ দেখা যাচ্ছে 4 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর।

∴ 4 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12

   1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে (-12) ÷ 4 = -3

∴ রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর দেওয়া হয়েছে -3

(ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়েছে।

    1 টি ঠিক উত্তরের জন্য পেয়েছে 6 

 ∴ 6 টি ঠিক উত্তরের জন্য পেয়েছে 6×6 = 36 

এবং 1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -3

     ∴ 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -3×6 = -18

অর্থাৎ সায়ন মোট নম্বর পেয়েছে = 36 - 18 = 18

উত্তর: (i) রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর দেওয়া হয়েছে -3

          (ii) সায়ন মোট নম্বর পেয়েছে 18

4. কোনো জায়গার তাপমাত্রা 12°C; প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে ৪ ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা -4°C হয়। সেখানে প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে হিসাব করি।

Answer:

তাপমাত্রা 12°C 

প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে ৪ ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা -4°C হয়।

মোট তাপমাত্রা কমল = 12°C - (-4°C) =12°C + 4°C = 16°C

∴ 8 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমে 16°C

   1 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমে (16 ÷ 8)°C

                                      = 2°C

উত্তর: প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে 2°C

5. একটি খনিতে একটি লিফট ৪ মিনিটে 24 মিটার নীচে নামে। লিফটটি যদি সমবেগে চলে তবে লিফটটি 6 মিনিটে কত মিটার নীচে থাকবে দেখি। ওই লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির কতটা নীচে থাকবে হিসাব করি।

Answer:

  ৪ মিনিটে লিফট নীচে নামে 24 মিটার

  1 মিনিটে লিফট নীচে নামে (24 ÷ 8) মিটার

                                        = 3 মিটার

∴ 6 মিনিটে লিফট নীচে নামে (3 × 6) মিটার

                                         = 18 মিটার

আবার 70 মিনিটে লিফট নীচে নামে (3 × 70) মিটার

                                                      = 210 মিটার

ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করলে তবে 70 মিনিটে ভূমির নীচে থাকবে = (210 - 10) মিটার= 200 মিটার 

উত্তর: লিফটটি 6 মিনিটে 18 মিটার নীচে থাকবে ; লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির 200 মিটার নীচে থাকবে।

6. নীচের ফাঁকা ঘর পূরণ করি-

(i) - 16 ÷ (- 2) + ☐ = -1

(ii) 20 - 50 + ☐ = -1

(iii) 41 × (-5) + ☐ = -3

(iv) (- 9) × (- 3) × ☐ = -81

(v) (- 15) ÷ (- 5) - ☐ = -1

(vi) (-18) ÷ ☐ + 3 = -6

(vii) ☐ ÷ 4 - 2 = -7

(viii) ☐ × (- 1) + 9 = 0

Answer:

আমরা প্রতিটি ☐ চিহ্নিত স্থানে x ধরে অংক গুলো সমাধান করব।

(i) -16 ÷ (-2) + ☐ = -1

ধরি, -16 ÷ (-2) + x = -1

⇒8 + x = -1

⇒x = -1 - 8

⇒x = -9

∴ -16 + (-2) + (-9) = -1

(ii) 20 - 50 + ☐ = -1

ধরি, 20 - 50 + x = -1

⇒x = -1 - 20 + 50 

⇒x = -21 + 50

⇒x = +29

∴ 20 - 50 + 29 = -1

(iii) 41 × (-5) + ☐ = -3

ধরি, 41 × (-5) + x = -3

⇒- 205 + x = -3

⇒x = -3 + 205

⇒x = +202

∴ 41 × (-5) + 202 = -3

(iv) (- 9) × (- 3) × ☐ = -81

ধরি, (- 9) × (- 3) × x = -81

⇒+27x = -81

⇒x = -81 ÷ 27

⇒x = -3

∴ (- 9) × (- 3) × -3 = -81

(v) (- 15) ÷ (- 5) - ☐ = -1

ধরি, (- 15) ÷ (- 5) - x = -1

⇒ +3 - x = -1

⇒-x = -1 - 3

⇒-x = -4

⇒x = 4

 ∴ (- 15) ÷ (- 5) - 4 = -1

(vi) (-18) ÷ ☐ + 3 = - 6

ধরি, (-18) ÷ x + 3 = - 6

⇒ (-18) ÷ x  = - 6 - 3

⇒ (-18) ÷ x  = - 9

⇒ (-18) ÷  (-9) = x

⇒ x = 2

 ∴  (-18) ÷ 2 + 3 = -6

(vii) ☐ ÷ 4 - 2 = - 7

ধরি, x ÷ 4 - 2 = - 7

⇒ x ÷ 4 = - 7 + 2

⇒ x ÷ 4 = - 5

⇒ x = (-5) × 4

⇒ x = - 20

 ∴ - 20 ÷ 4 - 2 = -7

(viii) ☐ × (- 1) + 9 = 0

ধরি, x × (- 1) + 9 = 0

⇒ x × (- 1) = - 9

⇒ x = (-9) ÷ (-1)

⇒ x = 9

 ∴ 9 × (- 1) + 9 = 0

7. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

পূর্ণসংখ্যার গুণ এবং ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম (Commutative Property) কীভাবে কাজ করে বা কাজ করে না, তা দুটি উদাহরণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হলো - 

গুণের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে:

বিনিময় নিয়ম অনুযায়ী, যদি a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে

a × b = b × a হবে

উদাহরণ:

3 × (-5) = -15

(-5) × 3 = -15

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল একই, তাই পূর্ণসংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না:

বিনিময় নিয়ম অনুসারে, ভাগের ক্ষেত্রেও যদি এটি মেনে চলত, তবে

a ÷ b = b ÷ a হবে

উদাহরণ:

10 ÷ 2 = 5

2 ÷ 10 = 0.2 (যা পূর্ণসংখ্যা নয়)

এখানে স্পষ্ট যে 10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10, তাই পূর্ণসংখ্যার ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

৪. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ সর্বদা বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

পূর্ণসংখ্যার গুণ ও ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Property) কীভাবে কাজ করে বা কাজ করে না, তা দুটি উদাহরণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হলো -

গুণের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে:

বিচ্ছেদ নিয়ম অনুযায়ী, যদি তিনটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) হবে

উদাহরণ:

ধরি, a = 3, b = 4, c = -2

∴ বামপক্ষ : 3 × (4 + (-2)) 

                  = 3 × 2

                  = 6

এবং, ডানপক্ষ : (3 × 4) + (3 × (-2)) 

                        = 12 + (-6) 

                        = 6

যেহেতু উভয় পক্ষ সমান, তাই পূর্ণসংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম সর্বদা মেনে চলে না:

যদি ভাগের ক্ষেত্রেও বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলত, তবে

a ÷ (b + c) = (a ÷ b) + (a ÷ c) হবে

উদাহরণ:

ধরি, a = 12, b = 4, c = 2

বামপক্ষ: 12 ÷ (4 + 2) 

           = 12 ÷ 6 

           = 2

ডানপক্ষ: (12 ÷ 4) + (12 ÷ 2) 

             = 3 + 6 

             = 9

এখানে 2 ≠ 9, তাই পূর্ণসংখ্যার ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম সর্বদা মেনে চলে না।

9. মান নির্ণয় করি-

(i) (- 125) ÷ 5

(ii) (-144) ÷ 6

(iii) (-49) ÷ 7

(iv) 225 ÷ (-3)

(v) 169 ÷ (-13)

(vi) 100 ÷ (-5)

(vii) (- 81) ÷ (- 9)

(viii) (- 150) ÷ (- 5)

(ix) (- 121) ÷ (- 11)

(x) (- 275) ÷ (- 25)

Answer:

(i) (-125) ÷ 5

   = -25

(ii) (-144) ÷ 6

    = -24

(iii) (-49) ÷ 7

     = -7

(iv) 225 ÷ (-3)

     = -75

(v) 169 ÷ (-13)

     = -13

(vi) 100 ÷ (-5)

     = -20

(vii) (-81) ÷ (-9)

      = 9

(viii) (-150) ÷ (-5)

        = 30

(ix) (- 121) ÷ (- 11)

     = 11

(x) (- 275) ÷ (- 25)

     = 11