কষে দেখি - ৫.২ - Class VIII - Exercise 5.2 - অভেদের সাহায্যে ঘনফল নির্ণয় - Volume of cube using rules

অষ্টম শ্রেণী - অংক - কষে দেখি - 5.2
অভেদের সাহায্যে ঘনফল নির্ণয়

Class VIII - Exercise 5.2
Volume of cube using rules 
Math
WBBSE

এই অংক গুলো করার জন্য যে সব অভেদের প্রয়োজন হবে সেগুলো প্রথমে জেনে নিই। 

অভেদ গুলো হল -

1. (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab² + b3   ------- (I)

2. (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)   ------- (II)

3. (a − b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b3   ------- (III)

4. (a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)   ------- (IV)

1. ছক পূরণ করি -

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য (একক)	ঘনকের আয়তন (ঘন একক)
(i) p² + q²	p⁶ + 3p⁴q² + 3p²q⁴ + q⁶
(ii) $\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$	$\frac{x³}{27}+\frac{4x}{3y}+\frac{16x}{3y²}+\frac{64}{y³}$
(iii) x²y - z²	x⁶y³ - 3x⁴y²z² + 3x²yz⁴ - z⁶
(iv) l + b - 2c	l³ + b³ - 8c³ + 3l²b + 3lb² - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b
(v) 2.89 + 2.11 or, 5	(2.89)³ + (2.11)³ + 15×2.89×2.11
(vi) (2m + 3n) + (2m - 3n) or, 4m	(2m + 3n)³ + (2m - 3n)³ + 12m (4m² - 9n²)
(vii) (a + b) - (a - b) or, 2b	(a + b)³ - (a - b)³ - 6b(a² - b²)
(viii) 2x - 3y - 4z	8x³ - 27y³ - 64z³ - 36x²y + 56xy² - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz²
(ix) x² - 5	x⁶ - 15x⁴ + 75x² - 125
(x) 10 + x	1000 + 30x(10 + x) + x³

উপরের ছক ঘরের অংক গুলোর বিস্তারিত নিচে দেওয়া হল।

(i) p² + q²

(p² + q²)³ = (p²)³ + 3.(p²)².q³ + 3.p².(q²)² + (q²)³

                 = p⁶ + 3p⁴q² + 3p²q⁴ + q⁶

(ii) $\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$

($\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$)³ = $(\frac{x}{3})³+3.(\frac{x}{3})².\frac{4}{y}+3.\frac{x}{3}.(\frac{4}{y})²+(\frac{4}{y}$)³

                  = $\frac{x³}{27}+3.\frac{x²}{9}.\frac{4}{y}+3.\frac{x}{3}.\frac{16}{y²}+\frac{64}{y³}$

                  = $\frac{x³}{27}+(\frac{4x}{3y}+\frac{16x}{3y²}+\frac{64}{y³}$

(iii) x²y - z²

(x²y - z²)³ = (x²y)³ - 3.(x²y)².z² + 3.x²y.(z²)² - (z²)³

                  = x⁶y³ - 3x⁴y²z² + 3x²yz⁴ - z⁶

(iv) l + b - 2c

(l + b - 2c)³ = (l + b)³ - 3.(l + b)².2c + 3.(l + b).(2c)² - (2c)³

                    = l³ + 3.l².b + 3.l.b² + b³ - 6c(l² + 2.l.b + b²) + 12c²(l + b) - 8c³

                    = l³ + 3l²b + 3lb² + b³ - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b - 8c³

                    = l³ + b³ - 8c³ + 3l²b + 3lb² - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b

(v) (2.89)³ + (2.11)³ + 15×2.89×2.11

= (2.89)³ + 15×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×5×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×(2.89 + 2.11)×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×(2.89)²×2.11 + 3×2.89×(2.11)² + (2.11)³

= (2.89 + 2.11)³

(vi) (2m + 3n)³ + (2m - 3n)³ + 12m (4m² - 9n²)

= (2m + 3n)³ + 12m (4m² - 9n²) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.4m {(2m)² - (3n)²} + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.(2m + 3n + 2m - 3n)(2m + 3n)(2m - 3n) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.{(2m + 3n) + (2m - 3n)}(2m + 3n)(2m - 3n) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.(2m + 3n)²(2m - 3n) + 3.(2m + 3n)(2m - 3n)² + (2m - 3n)³

= {(2m + 3n) + (2m - 3n)}³

(vii) (a + b)³ - (a - b)³ - 6b(a² - b²)

= (a + b)³ - 6b(a² - b²) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.2b(a² - b²) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.{(a + b) - (a - b)}(a + b)(a - b) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.(a + b)²(a - b) + 3.(a + b)(a - b)² - (a - b)³

= {(a + b) - (a - b)}³

(viii) 2x - 3y - 4z

(2x - 3y - 4z)³ = (2x - 3y)³ - 3.(2x - 3y)².4z + 3.(2x - 3y).(4z)² - (4z)³

                         = (2x)³ - 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² - (3y)³ - 12z.{(2x)² - 2.2x.3y + (3y)²} + 48z².(2x - 3y) - (4z)³

                         = 8x³ - 36x²y + 56xy² - 27y³ - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz² - 64z³

                         = 8x³ - 27y³ - 64z³ - 36x²y + 56xy² - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz²

(ix) x⁶ - 15x⁴ + 75x² - 125

= (x²)³ - 3.(x²)².5 + 3.x².(5)² - (5)³

= (x² - 5)³

(x) 1000 + 30x(10 + x) + x³

= 1000 + 300x + 30x² + x³

= (10)³ + 3.(10)².x + 3.10.(x)² + (x)³

=(10 + x)³

2. I থেকে IV নং অভেদের সাহয্যে নীচের প্রশ্নগুলি সমাধান করি।

(a) x - y = 2 হলে x³ - y³ - 6xy-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

(x - y) = 2

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

(x - y)³ = 2³

বা, x³ - y³ - 3xy(x − y) = 2³           [ (a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, x³ - y³ - 3xy.2 = 8              [∵ (x - y) = 2]

বা, x³ - y³ - 6xy = 8

Answer: x³ - y³ - 6xy - এর মান 8

(b) a + b = -$\frac{1}{3}$ হলে, প্রমাণ করার চেষ্টা করি a³ + b³ - ab = -$\frac{1}{27}$

উত্তর:

a + b = -$\frac{1}{3}$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

(a + b)³ = (-$\frac{1}{3}$)³

বা, a³ + b³ + 3ab(a + b) = -$\frac{1}{27}$               [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, a³ + b³ + 3ab.(-$\frac{1}{3}$) = -$\frac{1}{27}$              [∵ (a + b)³ = (-$\frac{1}{3}$)³]

বা, a³ + b³ - ab = -$\frac{1}{27}$

                                  (প্রমাণিত)

(c) x + y = 2 এবং $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ = 2 হলে x³ + y³ -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

দেওয়া আছে, 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ = 2

বা, $\frac{y+x}{xy}$ = 2

বা, $\frac{x+y}{xy}$ = 2

বা, $\frac{2}{xy}$ = 2              [∵ x + y = 2]

বা, xy = 1

এবং

x + y = 2

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

(x + y)³ = 2³

বা, x³ + y³ + 3xy(x + y) = 8              [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, x³ + y³ + 3.1.2 = 8                    [∵ (x + y) = 2 এবং xy = 1]

বা, x³ + y³ + 6 = 8

বা, x³ + y³ = 8 - 6

বা, x³ + y³ = 2

Answer: x³ + y³ -এর মান 2

(d) $\frac{x²-1}{x}$ = 2 হলে $\frac{x⁶-1}{x³}$ -এর মান হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

উত্তর:

$\frac{x² - 1}{x} = 2$

বা, $(x² - 1) = 2x$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(x² - 1)³ = (2x)³$

বা, $(x²)³ - 1³ - 3.x².1(x² - 1) = 8x³$               [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x⁶ - 1 - 3.x².1(2x) = 8x³$               [∵$(x² - 1) = 2x$

বা, $x⁶ - 1 - 6x³ = 8x³$

বা, $x⁶ - 1 = 8x³ + 6x³$

বা, $x⁶ - 1 = 14x³$

বা, $\frac{x⁶-1}{x³} = 14$

Answer: $\frac{x⁶-1}{x³}$ -এর মান 14

(e) $x + \frac{1}{x}$= 5 হলে $x³+\frac{x³}{x}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

$x + \frac{1}{x}$= 5

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(x + \frac{1}{x})³$= (5)³

বা, $x³+\frac{1}{x³}+3.x.\frac{1}{x}.(x + \frac{1}{x})$= (5)³              [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x³+\frac{1}{x³}+3.5$= 125             [∵ $x + \frac{1}{x}$= 5]

বা, $x³+\frac{1}{x³}+15$= 125

বা, $x³+\frac{1}{x³}$= 125-15

বা, $x³+\frac{1}{x³}$= 110

Answer: $x³+\frac{x³}{x}$ -এর মান 110

(f) x = y + z হলে x³ - y³ - z³-3xyz এর মান হিসাব করে লিখি

উত্তর:

x = y + z

বা, x - y = z

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

 (x - y)³ = (z)³

বা, x³ - y³ - 3.xy.(x-y) = z³           [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, x³ - y³ - 3.xy.z = z³            [∵ x - y = z]

বা, x³ - y³ - z³ - 3xyz = 0

Answer: x³ - y³ - z³ - 3xyz এর মান 0

(g) $xy (x + y) = m$ হলে $x³ + y³ +3m = \frac{m³}{x³y³}$ প্রমাণ করার চেষ্টা করি

উত্তর:

$xy (x + y) = m$

বা, $(x + y) = \frac{m}{xy}$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

 $(x + y)³ = (\frac{m}{xy})³$

বা, $x³ + y³ + 3xy(x + y) = \frac{m³}{x³y³}$                  [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x³ + y³ + 3xy.\frac{m}{xy} = \frac{m³}{x³y³}$                 [∵ $(x + y) = \frac{m}{xy}$]

বা, $x³ + y³ + 3m = \frac{m³}{x³y³}$

                                          (প্রমাণিত)

(h) $2x +\frac{1}{3x}=4$ হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি $27x³ +\frac{1}{8x³}=189$

উত্তর:

$2x +\frac{1}{3x}=4$ 

বা, $\frac{3}{2}.(2x +\frac{1}{3x})=\frac{3}{2}.4$

বা, $3x +\frac{1}{2x}=6$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

বা, $(3x +\frac{1}{2x})³ = 6³$

বা, $(3x)³ +(\frac{1}{2x})³+3.3x.\frac{1}{2x}.(3x +\frac{1}{2x}) = 216$           [∴ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $(3x)³ +(\frac{1}{2x})³+3.3x.\frac{1}{2x}.6 = 216$                [ ∴ $3x +\frac{1}{2x}=6$]

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³}+27 = 216$

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³} = 216-27$

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³} = 189$

                                     (প্রমাণিত)

(i) $2a-\frac{2}{a}+1=0$ হলে, $a³-\frac{1}{a³}+2$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

$2a-\frac{2}{a}+1=0$

বা, $2a-\frac{2}{a} = -1$

বা, $a-\frac{1}{a} =-\frac{1}{2}$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(a-\frac{1}{a})³ =(-\frac{1}{2})³$

বা, $a³-\frac{1}{a³}-3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) =-\frac{1}{8}$             [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, $a³-\frac{1}{a³}-3.a.\frac{1}{a}(-\frac{1}{2}) =-\frac{1}{8}$            [∵ $a-\frac{1}{a} =-\frac{1}{2}$]

বা, $a³-\frac{1}{a³}+\frac{3}{2} =-\frac{1}{8}$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2} +2$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=\frac{-1-12+16}{8}$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=\frac{3}{8}$

Answer: $a³-\frac{1}{a³}+2$ -এর মান $\frac{3}{8}$

(j) a³ + b³ + c³ = 3abc হলে (a + b + c) -এর মান হিসাব করে লিখি (a ≠ b≠ c)

উত্তর:

প্রথম পদ্ধতি,

a³ + b³ + c³ = 3abc

বা, a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

বা, a³ + (b + c)³ - 3bc(b + c) - 3abc = 0

বা, {a + (b + c)}{a² + (b + c)² - a(b + c)} - 3bc{(b + c) + a} = 0

বা, (a + b + c){a² + (b + c)² - a(b + c)} - 3bc(b + c + a) = 0

বা, (a + b + c){a² + (b + c)² - a(b + c) - 3bc} = 0

বা, (a + b + c) = 0

Answer: (a + b + c) -এর মান 0

দ্বিতীয় পদ্ধতি,

a³ + b³ + c³ = 3abc

বা, a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

বা, (a + b + c)(a² + b² + c³ - bc - ab - ac) = 0 [সূত্র থেকে পাই]

বা, (a + b + c) = 0 [ (a² + b² + c³ - bc - ab - ac) ≠ 0]

Answer: (a + b + c) -এর মান 0

(k) যদি m + n = 5 এবং mn = 6 হয় তবে (m² + n²) (m³ + n³) -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

   (m² + n²) (m³ + n³)

= {(m + n)² - 2mn}{(m + n)³ - 3mn(m + n)} [সূত্র থেকে পাই]

= {(5)² - 2.6}{(5)³ - 3.6.5}               [∵ m + n = 5 এবং mn = 6]

= {25 - 12}{125 - 90}

= 13 × 35

= 455

Answer: (m² + n²) (m³ + n³) -এর মান 455