দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 4 || Class X - Math - Exercise 4 - Rectangular Parallelopiped or Cuboid

 দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি : 4

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 4

আয়তঘন

WBBSE

Class X

Math

Exercise - 4

Rectangular Parallelopiped or Cuboid

কষে দেখি - 4

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি ।

উত্তর: 

পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার বস্তুর নাম - ইট, দেশলাই বাক্স, মোবাইল বক্স, বই বা আলমারি।

পরিবেশের 4 টি ঘনক বস্তুর নাম - লুডোর ছক্কা, চিনির দানা, কর্পূর দানা, রুবিকস কিউব।

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তর: 

আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি হল - ABCD, EFGH, ADFE, BCGH, ABHE, DCGF, 

আয়তঘনাকার চিত্রের ধারগুলি হল - AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, DF, BH, CG. 

আয়তঘনাকার চিত্রের শীর্ষ বিন্দুগুলি হল -A, B, C, D, E, F, G, H

3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি, আয়তঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= $\sqrt{a²+b²+c²}$ একক      [যেখানে, a = দৈর্ঘ্য, b = প্রস্থ এবং c = উচ্চতা

এখানে, সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য (a) = 5 মি.
                                                        প্রস্থ (b) = 4 মি. 
                                                    উচ্চতা (c) = 3 মি.

∴ ঘরের সবচেয়ে লম্বা দণ্ডের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a²+b²+c²}$ মি.

                                                  = $\sqrt{5²+4²+3²}$ মি.

                                                  = $\sqrt{25+16+9}$ মি.

                                                  = $\sqrt{50}$ মি.

                                                  = $5\sqrt{2}$ মি.

Ans. ঘরের সবচেয়ে লম্বা দণ্ডের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ মি.

4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি। 

উত্তর:

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
সুতরাং ঘনকের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² বর্গ একক
= a² বর্গ মিটার

প্রশ্নানুযায়ী,
      a² = 64
বা, a = $\sqrt{64}$
         = $\sqrt{8×8}$
         = 8

সুতরাং ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 মিটার

এবং ঘনকের আয়তন = (বাহু)³ ঘন মিটার
                                 = (8)³ ঘন মিটার
                                 = 512 ঘন মিটার

Ans. ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং ৪ ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বকুলতলা গ্রামে খালের চওড়া বা প্রস্থ = 2 মিটার
                                           গভীরতা = ৪ ডেসিমি.
                                                         = 0.8 মিটার 

এবং ধরি খালটির লম্বা বা দৈর্ঘ্য = a মিটার

সুতরাং খালের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা ঘন মিটার
                                   = 2 × 0.8 × a ঘন মিটার

                                   = 1.6a ঘন মিটার

প্রশ্নানুযায়ী,

  1.6a = 240

বা, a = $\frac{240}{1.6}$ 

বা, a = 150

সুতরাং খালটির লম্বা বা দৈর্ঘ্য 150 মিটার

Ans. বকুলতলা গ্রামের খালটি 150 মিটার লম্বা।

6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

উত্তর:

দেওয়া আছে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি.
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= বাহু×$\sqrt{3}$ একক

প্রশ্নানুযায়ী,
বাহু×$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$

বা, বাহু = $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

বা, বাহু = 4

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × (বাহু)² বর্গ একক
                          ‌                                = 6 × (4)² বর্গ সেমি.
                                                          = 6 × 16 বর্গ সেমি.
                                                          = 96 বর্গ সেমি.

Ans. ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি.

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি, ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = 12 × বাহু একক

প্রশ্নানুযায়ী,
     12 × বাহু = 60
বা,  বাহু = $\frac{60}{12}$
বা, বাহু = 5

অর্থাৎ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যে = 5 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির ঘনফল = (বাহু)³ ঘন সেমি.
                                      = (5)³ ঘন সেমি.
                                      = 125 ঘন সেমি.

Ans. ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি.

৪. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর: 

আমরা জানি, ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 6 × (বাহু)² বর্গ একক

প্রশ্নানুযায়ী,
 6 × (বাহু)² = 216
বা, (বাহু)² = $\frac{216}{6}$
বা, (বাহু)² = 36
বা, বাহু = $\sqrt{36}$
বা, বাহু = 6

অর্থাৎ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যে = 6 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির ঘনফল = (বাহু)³ ঘন সেমি.
                                      = (6)³ ঘন সেমি.
                                      = 216 ঘন সেমি.

Ans. ঘনকটির ঘনফল 216 ঘন সেমি.

9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.

অর্থাৎ সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক আয়তন 432 ঘন সেমি.

সুতরাং একটি ঘনক আয়তন $\frac{432}{2}$ ঘন সেমি.
                                        = 216 ঘন সেমি.

সুতরাং ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য = $\sqrt[3]{216}$ সেমি.
                                                      = $\sqrt[3]{6×6×6}$ সেমি.
                                                      = 6 সেমি.

Ans.  প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, মূল ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক

সুতরাং মূল ঘনকের ঘনফল = $(a)³$ ঘন একক

এবার ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলে,
পরিবর্তিত ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ($a - a×50%$) একক
                                                        = ($a - a×\frac{50}{100}$) একক
                                                        = ($a - a×\frac{1}{2}$) একক
                                                        = $\frac{2a-a}{2}$ একক
                                                        = $\frac{a}{2}$ একক

সুতরাং পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল = $(\frac{a}{2})³$ ঘন একক
                                                   = $\frac{a³}{8}$ ঘন একক

প্রশ্নানুযায়ী,
মূল ঘনকের ঘনফল : পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল
= $a³$ : $\frac{a³}{8}$
=  $8a³$ : $a³$
= 8 : 1

Ans. মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত = 8 : 1

11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা                                                    = 3 : 2 : 1

ধরি, বাক্সের দৈর্ঘ্য 3a সেমি.
সুতরাং বাক্সের প্রস্থ 2a সেমি.
এবং বাক্সের উচ্চতা a সেমি.

সুতরাং বাক্সের আয়তন = 3a×2a×a ঘন সেমি.
                                    = 6a³ ঘন সেমি.

প্রশ্নানুযায়ী,
   6a³ = 384
বা, a³ = $\frac{384}{6}$
বা, a³ = 64
বা, a = $\sqrt[3]{64}$
বা, a = $\sqrt[3]{4×4×4}$
বা, a = 4

সুতরাং বাক্সের দৈর্ঘ্য 3×4 = 12 সেমি.
            বাক্সের প্রস্থ 2×4 = 8 সেমি.
এবং বাক্সের উচ্চতা 4 সেমি.

সুতরাং বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 

= 2( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ + প্রস্থ × উচ্চতা + উচ্চতা × দৈর্ঘ্য) বর্গ একক
= 2( 12 × 8 + 8 × 4 + 4 × 12) বর্গ সেমি.
= 2(96 + 32 + 48) বর্গ সেমি.
= 2 × 176 বর্গ সেমি.
= 352 বর্গ সেমি.

Ans. বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি.

12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য = 7.5 ডেসিমি.
                                     প্রস্থ = 6 ডেসিমি.
                                 উচ্চতা = 5.4 ডেসিমি.

সুতরাং চা-এর বাক্সের ভিতরের ঘনফল =  (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
                                                          = (7.5 × 6 × 5.4) ঘন ডেসিমি.
                                                          = 243 ঘন ডেসিমি.

চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম বা 52.350 কিগ্রা.
খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. বা 3.750 কিগ্রা.
সুতরাং শুধু চা-এর ওজন = (52.350 - 3.750) কিগ্রা.
‌                                      = 48.600 কিগ্রা.
                                      = 48600 গ্রাম

অর্থাৎ 243 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 48600 গ্রাম
              1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন $\frac{48600}{243}$ গ্রাম
                                                     =200 গ্রাম

Ans. 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম

13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

    8.4 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন  1 ঘন সেমি.
       1 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন $\frac{1}{8.4}$ ঘন সেমি.
4725 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন $\frac{1×4725}{8.4}$ ঘন সেমি.
                                                           = 562.5 ঘন সেমি.

বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি.
                                            সুতরাং প্রস্থ x সেমি.
                            এবং বেধ 1 মিলিমি. = 0.1 সেমি.

পিতলের প্লেটের মোট আয়তন x × x × 0.1 ঘন সেমি
= 0.1x² ঘন সেমি

প্রশ্নানুযায়ী,
0.1x² = 562.5
বা, x² = $\frac{562.5}{0.1}$
বা, x² = 5625
বা, x = $\sqrt{5625}$
বা, x = $\sqrt{75×75}$
বা, x = 75

Ans. x এর মান 75

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং ৪ মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য = 14 মি.
                      প্রস্থ = ৪ মি.
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = x মি.

সুতরাং একটি গর্তের আয়তন= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা ঘন একক
                                           = 14 × 8 × x ঘন মি.
                                           = 112x ঘন মি.

সুতরাং 30 টি গর্তের আয়তন = 30 × 112x ঘন মি.
                                            = 3360x ঘন মি.

প্রশ্নানুযায়ী,
     3360x = 2520
বা, x = $\frac{2520}{3360}$
বা, x = $\frac{84}{114}$
বা, x = $\frac{6}{8}$
বা, x = $\frac{3}{4}$
বা, x = 0.75

অর্থাৎ প্রতিটি গর্তের গভীরতা = 0.75 মি. বা 75 সেমি.

Ans. প্রতিটি গর্তের গভীরতা 75 সেমি.

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার = 12 ডেসিমি.
সুতরাং চৌবাচ্চাটির আয়তন = (12)³ ঘন ডেসিমি.
                                           = 1728 ঘন ডেসিমি.

আমরা জানি, 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার 
সুতরাং 1728 ঘন ডেসিমি. = 1728 লিটার 

আবার, 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির জলপূর্ণ থাকে $\frac{1}{3}$ অংশ 

সুতরাং চৌবাচ্চাটির $(1-\frac{1}{3})$ অংশ = 64 বালতি

বা চৌবাচ্চাটির $\frac{2}{3}$ অংশ = 64 বালতি
সুতরাং চৌবাচ্চাটির 1 অংশ = $\frac{3×64}{2}$ বালতি
                                          = 96 বালতি

সুতরাং 96 বালতি = 1728 লিটার
          বা 1 বালতি = $\frac{1728}{96}$ লিটার

                             = 18 লিটার 

Ans. প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।