দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.5 || Class X - Math - Exercise 1.5 - Nature of roots of Quadratic Equations with One Variable

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.5

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 1

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1.5

Nature of roots of Quadratic Equations with One Variable

আমরা জানি, কোন দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি, ওই সমীকরণের নিরূপক(Discriminant)-এর উপর নির্ভর করে। 

যদি ax² + bx + c = 0 [যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হয় তবে, ঐ সমীকরণের নিরূপণ(Discriminant)  = b² - 4ac

(i) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac = 0 হলে, সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(ii) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac > 0 হলে, সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

(iii) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac < 0 হলে, সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না।

কষে দেখি 1.5

1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—

(i) 2x² + 7x + 3 = 0

উত্তর:

2x² + 7x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 2, b = 7 এবং c = 3

নিরূপক = b ² - 4ac 

             = (7)² - 4.3.3

             = 49 - 36

             = 13 > 0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

Ans. 2x² + 7x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

(ii) 3x² + 2$\sqrt{6}$x + 2 = 0

উত্তর:

3x² + 2$\sqrt{6}$x + 2 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2$\sqrt{6}$ এবং c = 2

নিরূপক = b ² - 4ac 

             = (2$\sqrt{6}$)² - 4.3.2

             = 24 - 24

             = 0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

Ans. 3x² + 2$\sqrt{6}$x + 2 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

(iii) 2x² - 7x + 9 = 0

উত্তর:

2x² - 7x + 9 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 2, b = -7 এবং c = 9

নিরূপক = b ² - 4ac 

             = (-7)² - 4.2.9

             = 49 - 72

             = -23 < 0

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. 2x² - 7x + 9 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

(iv) $\frac{2}{5}$x² - $\frac{2}{3}$x + 1 = 0

উত্তর:

$\frac{2}{5}$x² - $\frac{2}{3}$x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = $\frac{2}{5}$, b =  -$\frac{2}{3}$ এবং c = 1

নিরূপক = b ² - 4ac 

             = ( -$\frac{2}{3}$)² - 4.$\frac{2}{5}$.3

             = $\frac{4}{9}$ -  $\frac{24}{25}$

             = $\frac{100 - 216}{225}$

             =  - $\frac{116}{225}$

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. $\frac{2}{5}$x² - $\frac{2}{3}$x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

2. k-এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি -

(i) 49x² + kx + 1= 0

উত্তর : 

49x² + kx + 1= 0    ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ k² - 4.49.1 = 0

বা, k² - 4.49.1 = 0

বা, k² - 196 = 0

বা, k² = 196

বা, k = $\sqrt{196}$

বা, k = $\sqrt{14×14 }$

বা, k = ± 14

Ans. k-এর কোন মান ± 14 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(ii) 3x² - 5x + 2k = 0

উত্তর:

3x² - 5x + 2k = 0    ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ (-5)² - 4.3.2k = 0

বা, 25 - 24k = 0

বা, -24k = -25

বা, 24k = 25

বা, k = $\frac{25}{24}$

Ans. k-এর কোন মান $\frac{25}{24}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(iii) 9x² - 24x + k = 0 

উত্তর:

9x² - 24x + k = 0    ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ (-24)² - 4.9.k = 0

বা, 576 - 36k = 0

বা, -36k = -576

বা 36k = 576

বা, k = $\frac{576}{36}$

বা, k = 16

Ans. k-এর কোন মান 16 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(iv) 2x² + 3x + k = 0

উত্তর:

2x² + 3x + k = 0    ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ 3² - 4.2.k = 0

বা, 9 - 8k = 0

বা, - 8k = - 9

বা, 8k = 9

বা, k = $\frac{9}{8}$

Ans. k-এর কোন মান $\frac{9}{8}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(v) x² - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0 

উত্তর:

      x² - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0 

বা,  x² - (10 + 4k)x + (21 + 30k) = 0  ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ {-(10 + 4k)}² - 4.1.(21 + 30k) = 0

বা, (10 + 4k)² - 4.(21 + 30k) = 0

বা, 100 + 80k + 16k² - 84 - 120k = 0

বা, 16k² - 40k + 16 = 0

বা, 2k² - 5k + 2 = 0

বা, 2k² - (4 + 1)k + 2 = 0

বা, 2k² - 4k - 1k + 2 = 0

বা, 2k(k - 2) -1(k - 2) = 0

বা, (k - 2)(2k -1) = 0

হয়, k - 2 = 0

বা, k = 2

অথবা, 2k -1 = 0

বা, 2k = 1

বা, k = $\frac{1}{2}$

Ans. k-এর কোন মান 2, $\frac{1}{2}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(vi) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0

উত্তর:

(3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0   ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ {2(k + 1)}² - 4.(3k + 1).k = 0

বা, 4(k² + 2k + 1) - 4k(3k + 1) = 0

বা, 4k² + 8k + 4 - 12k² - 4k  = 0

বা, - 8k² + 4k + 4 = 0

বা, 2k² - k - 1 = 0

বা, 2k² - (2 -1)k - 1 = 0

বা, 2k² - 2k + k - 1 = 0

বা, 2k(k - 1) + 1(k + 1) = 0

বা, (k - 1) (2k + 1) = 0

হয়, k - 1 = 0

বা, k = 1

অথবা, 2k + 1 = 0

বা, 2k = -1

বা, k = $-\frac{1}{2}$

Ans. k-এর কোন মান 1, $-\frac{1}{2}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—

(i) 4, 2 (ii) 4, -3 (iii) 4, 3 (iv) 5,3

(i) 4, 2

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে, 

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0         

এক্ষেত্রে, α = 4 ও β = 2

অর্থাৎ, x² - (4 + 2)x + 4×2 = 0

বা, x² - (6)x +  8 = 0

বা, x² - 6x + 8 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 6x + 8 = 0

(ii) -4, -3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে, 

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0         

এক্ষেত্রে, α = -4 ও β = -3

অর্থাৎ x² - (-4 - 3)x + (-4)×(-3) = 0

বা, x² - (-7)x + 12 = 0

বা, x² + 7x + 12 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 7x + 12 = 0

(iii) -4, 3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে, 

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0         

এক্ষেত্রে, α = -4 ও β = 3

অর্থাৎ x² - (-4 + 3)x + (-4)×(3) = 0

বা, x² - (-1)x - 12 = 0

বা, x² + x - 12 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + x - 12 = 0

(iv) 5, -3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে, 

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0         

এক্ষেত্রে, α = 5 ও β = -3

অর্থাৎ x² - (5 - 3)x + (5)×(-3) = 0

বা, x² - 2x - 15 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 2x - 15 = 0

4. $m$ - এর মান কত হলে, $4x² + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে। 

উত্তর:

     $4x² + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0$

বা, $x² + \frac{4(3m - 1)}{4}x + \frac{(m + 7)}{4} = 0$

বা, $x² + (3m - 1)x + \frac{(m + 7)}{4} = 0$

ধরি, এই সমীকরণের একটি বীজ $α$

∴ অপর বীজ $\frac{1}{α}$      [∵ বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক]

∴ প্রশ্নানুযায়ী, 

     $\frac{(m + 7)}{4}$ = $α×\frac{1}{α}$ 

বা, $\frac{(m + 7)}{4}$ = 1

বা, m + 7 = 4

বা, m = 4 - 7

বা, m = -3

Ans. দ্বিঘাত সমীকরণটিতে m এর মান -3 হলে, সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

5. (b–c)x²+(c–a)x+ (a - b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b=a+c

উত্তর:

     (b – c)x² + (c – a)x + (a - b) = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরুপক = 0

অর্থাৎ  (c – a)² - 4(b – c)(a - b) = 0

বা, c² - 2ac + a² - 4(ab - b² - ac + bc) = 0

বা, c² - 2ac + a² - 4ab + 4b² + 4ac - 4bc = 0

বা, a² + 4b² + c² - 4ab - 4bc + 2ac = 0

বা, a² + (-2b)² + c² + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0

বা, (a - 2b + c)² = 0

বা, a - 2b + c = 0

বা, a + c = 2b

বা, 2b = a + c  (প্রমানিত)

6. (a² + b²)x² - 2(ac + bd)x + (c² + d²)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a/b=c/d

উত্তর:

     (a² + b²)x² - 2(ac + bd)x + (c² + d²)=0

এই দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরুপক = 0

অর্থাৎ  {2(ac + bd)}² - 4(a² + b²)(c² + d²) = 0

বা, 4(a²c² + 2acbd + b²d²) - 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0

বা, 4a²c² + 8acbd + 4b²d² - 4a²c² - 4a²d² - 4b²c² - 4b²d² = 0

বা, 8acbd  - 4a²d² - 4b²c²  = 0

বা, 2acbd - a²d² - b²c²  = 0

বা, (ad)² - 2.ad.bc + (bc)² = 0

বা, (ad -  bc)² = 0

বা, ad - bc = 0

বা, ad = bc

বা, a/b = c/d  (প্রমানিত)

7. প্রমাণ করি যে, 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।

উত্তর:

 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে Ax² + Bx + C = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, A = 2(a²+b²), b = 2(a+b) এবং c = 1

নিরূপক = B² - 4AC

             = {2(a + b)}² - 4.2(a²+b²).1

             = 4a² + 8ab + 4b² - 8a² - 8b²

             = - 4a² + 8ab - 4b² 

             = - 4(a² - 2ab + b²)

             = - 4(a - b)² < 0        [a ও b এর সকল মানের জন্য যদি a≠b হয়]

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় অবাস্তব। (প্রমানিত)

8. 5x² + 2x - 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, 

 (i) α² + β²

(ii) α³ + β³

(iii) $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

(iv) $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$-এর মান নির্ণয় করি।

 (i) α² + β²

উত্তর:

      $5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0      -------- (ii)   

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

 α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ α² + β² = (α + β)² - 2αβ

                = $(-\frac{2}{5})² -2(-\frac{3}{5})$

                = $\frac{4}{25} + \frac{6}{5}$

                = $\frac{4+30}{25}$

                = $\frac{34}{25}$

Ans. $\frac{34}{25}$

(ii) α³ + β³

উত্তর:

 $5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0      -------- (ii)   

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

 α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β)

                = $(-\frac{2}{5})³ -3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})$

                = $-\frac{8}{125} - \frac{18}{25}$

                = $\frac{-8-90}{125}$

                = $-\frac{98}{125}$

Ans. $-\frac{98}{125}$

(iii) $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

উত্তর:

 $5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0      -------- (ii)   

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

 α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

 = $\frac{β+α}{αβ}$

 = $\frac{α+β}{αβ}$

 = $\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}$

 = $\frac{2}{5}×\frac{5}{3}$

 = $\frac{2}{3}$

Ans. $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$

উত্তর:

 $5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 

     x² - (α + β)x + αβ = 0      -------- (ii)   

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

 α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$

 = $\frac{α³+β³}{βα}$

 = $\frac{(α + β)³ - 3αβ(α + β)}{βα}$

= $\frac{(-\frac{2}{5})³ -3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(-\frac{8}{125} - \frac{18}{25})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(\frac{-8-90}{125})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(-\frac{98}{125})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{98}{125}×\frac{5}{3}$

= $\frac{98}{75}$

Ans. $\frac{98}{75}$

9. ax + bx + c = 0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac.

উত্তর: 

ধরি, ax + bx + c = 0 - এই সমীকরণের একটি বীজ $α$

সুতরাং অপর বীজ $2α$

প্রশ্নানুযায়ী, 

$α + 2α$ = $-\frac{b}{a}$

বা, $3α$ = $-\frac{b}{a}$

বা, $α$ = $-\frac{b}{3a}$

এবং

$α.2α$ = $\frac{c}{a}$

বা, $2α²$ = $\frac{c}{a}$

বা, $2(-\frac{b}{3a})² = \frac{c}{a}$

বা, $\frac{2b²}{9a²} = \frac{c}{a}$

বা, $2b² = \frac{c×9a²}{a}$

বা, $2b² = 9ac$    (প্রমানিত)

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

উত্তর:

ধরি, x² + px + 1 = 0 --- সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β

∴  α + β = - p        এবং αβ = 1

আবার, বীজদ্বয় α ও β এর অন্যোন্যক যথাক্রমে $\frac{1}{α}$ ও $\frac{1}{β}$

∴ $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ = $\frac{β + α}{αβ}$

                     = $\frac{-p}{1}$

                     = -p

এবং $\frac{1}{α}×\frac{1}{β}$ = $\frac{1}{αβ}$

                    = $\frac{1}{1}$

                    = 1

∴ নির্নয় সমীকরণটি হবে 

$x² -(\frac{1}{α} + \frac{1}{β})x + \frac{1}{α}\frac{1}{β} = 0$

বা, $x² - (-p)x + 1 = 0$

বা, $x² + px + 1 = 0$

Ans. নির্নয় সমীকরণটি হবে, x² + px + 1 = 0

11. x² + x + 1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, x² + x + 1 = 0 --- সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β

∴  α + β = -1       এবং αβ = 1

আবার, বীজদ্বয় α ও β এর বর্গ যথাক্রমে α² ও β²

∴ α² + β² = (α + β)² - 2αβ

                = (-1)² - 2.1

                = 1 - 2

                = -1

এবং α²β² = (αβ)²

                 = (1)²

                 = 1

∴ নির্নয় সমীকরণটি হবে 

$x² -(α² + β²)x + α²β² = 0$

বা, $x² - (-1)x + 1 = 0$

বা, $x² + x + 1 = 0$

Ans. নির্নয় সমীকরণটি হবে, x² + x + 1 = 0

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) x² - 6x + 2 =0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 

(a) 2         (b) -2            (c) 6          (d)-6

উত্তর:

এখানে, সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β হলে

α + β = -(-6) = 6

Ans. (c) 6

(ii) x² - 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, k-এর মান

(a) -2          (b) -8            (c) 8            (d) 12

উত্তর:

      x² - 3x + k = 10 

বা, x² - 3x + (k - 10) = 0

এখন, সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β হলে

   αβ = -2

বা, k - 10 = -2

বা, k =  -2 + 10

বা, k = 8

Ans. (c) 8

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² - 4ac হবে

(a) > 0        (b) = 0         (c) < 0            (d) কোনোটিই নয়

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² - 4ac > 0 হয়।

Ans. (a) > 0

(iv) ax² + bx + c = 0  (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে

 (a) $c=-\frac{b}{2a}$            (b) $c=\frac{b}{2a}$          (c) $c=-\frac{b²}{4a}$          (d) $c=\frac{b²}{4a}$  

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব হলে, 

   b² - 4ac = 0

বা,  b² = 4ac

বা,  4ac = b²

বা, $c = \frac{b²}{4a}$ 

Ans. (d) $c=\frac{b²}{4a}$

(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, $(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})$ - এর মান

(a) $-\frac{3}{8}$           (b) $\frac{2}{3}$          (c) -4          (d) 4

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে

α + β = $-\frac{8}{3}$ 

এবং αβ = $\frac{2}{3}$ 

∴ $(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})$

= $(\frac{β + α}{αβ}$

 = $(\frac{α + β}{αβ}$

= $(\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}$ 

= $-\frac{8}{3}×{\frac{3}{2}}$

= - 4

Ans. (c) - 4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

Ans. মিথ্যা

[সূত্রঃ  b² - 4ac = 1² - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 <0  অর্থাৎ বীজদ্বয় বাস্তব নয়]

(ii) x² - x + 2 =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়। 

Ans. সত্য 

[সূত্রঃ  b² - 4ac = (-1)² - 4.1.2 = 1 - 8 = -7 <0  অর্থাৎ বীজদ্বয় বাস্তব নয়]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) 7x² - 12x +18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত                 

উত্তর:

7x² - 12x +18 = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে

α + β = $-\frac{-12}{7}$ 

         = $\frac{12}{7}$ 

এবং αβ = $\frac{18}{7}$ 

∴ (α + β) : αβ = $\frac{12}{7}$ : $\frac{18}{7}$

                       = 12 : 18

                       = 2 : 3

Ans. 7x² - 12x +18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত     2:3        

(ii) ax² + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c =                 

উত্তর:

ax² + bx + c = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় $α$ ও $\frac{1}{α}$  হলে

$α.\frac{1}{α}$ = $\frac{c}{a}$ 

বা, 1 = $\frac{c}{a}$ 

বা, c = a

Ans. ax² + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c =       a      

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c =                  

উত্তর:

ax² + bx + c = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় $α$ ও $-\frac{1}{α}$  হলে,

$α. (-\frac{1}{α})$ = $\frac{c}{a}$ 

বা, -1 = $\frac{c}{a}$ 

বা, -a = c

বা, -a - c= 0

বা, a + c = 0

Ans. ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c =       0      

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

     x² - (α + β)x + αβ = 0 

∴ x² - (14)x + 24 = 0

বা, x² - 14x + 24 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 14x + 24 = 0

(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।

উত্তর:

kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0)    ---- সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, 

    α + β = αβ

বা, $-\frac{2}{k}$ = $\frac{3k}{k}$ 

বা, $-\frac{2}{k}$ = 3

বা, k =  $-\frac{2}{3}$

Ans. সমীকরণে k-এর মান $-\frac{2}{3}$

(iii) x² - 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (α - β)-এর মান লিখি।

উত্তর:

x² - 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, 

α + β = -(-22)

         = 22

এবং αβ = 105

∴ α + β = 22

বা, (α + β)² = (22)²

বা, (α - β)² + 4αβ = 484

বা, (α - β)² + 4 x 105 = 484

বা, (α - β)² + 420 = 484

বা, (α - β)² = 484 -420

বা, (α - β)² = 64

বা, (α - β) = $\sqrt{64}$

বা, (α - β) = ± 8

Ans. (α - β) = ± 8

(iv) x² - x = k(2x - 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।

উত্তর:

     x² - x = k(2x - 1)

বা, x² - x - k(2x - 1) = 0

বা, x² - x - 2kx + k = 0

বা, x² - (1 + 2k)x + k = 0

 এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, 

(1 + 2k) = 0

বা, 2k = - 1

বা, k = $-\frac{1}{2}$

Ans.  k-এর মান  $-\frac{1}{2}$

(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।

উত্তর:

        x² + bx + 12 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে,

      (2)² + b.2 + 12 = 0

বা, 4 + 2b +12 = 0

বা, 2b +16 = 0

বা, 2b =  -16

বা, b = -8

আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে,

(2)² + (-8).2 + q = 0   [∵ b = -8]

বা, 4 - 16 + q = 0

বা, -12 + q = 0

বা, q = 12

Ans. q-এর মান 12