Class X - Math - Exercise 1:3 || দশম শ্রেণী - অংক - কষে দেখি 1:3

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1:3

    Quadratic Equations with One Variable 

দশম শ্রেণী

অংক

কষে দেখি - 1:3

একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( V.S.A. ) 

( A ) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন ( M.C.Q. ) 

10. (A) ( i ) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা 

             ( a ) একটি

             ( b ) দুটি

             ( c ) তিনটি

             ( d ) কোনােটিই নয় 

দ্বিঘাত সমীকরণ কথাটির অর্থ যে সমীকরণের বীজ দুটি। তাই এই প্রশ্নের উত্তর  ( b ) দুটি

Ans.  ( b ) দুটি

10. (A) ( ii ) ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে 

              ( a ) b ≠ 0

              ( b ) c ≠ 0

              ( c ) a ≠ 0

              ( d ) কোনােটিই নয় 

কোন সমীকরণ দ্বিঘাত কিনা তার বুঝতে হলে শ্রীধর আচার্য্য এর সূত্র দিয়ে খুব সহজেই নির্ণয় করা যায়।

 কিন্তু আমারা এই সমীকরণটির ক্ষেত্রে আরো সহজ ভাবে চিন্তা করব।  

এখানে a = 0 হলে, x² যুক্ত পদটিও 0 হয়ে যাবে [bx + c = 0], ফলে x এর আর দুটো বীজ থাকবে না।

তাই ax² + bx + c = 0 এই সমীকরণটি দ্বিঘাত  হওয়ার একমাত্র শর্ত  a ≠ 0

Ans.  ( c ) a ≠ 0

10. (A)  ( iii ) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত 

             ( a ) 1

             ( b ) 2

             ( c ) 3 

             ( d ) কোনােটিই নয়

যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ থাকে তাই দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2.

Ans. ( b ) 2

10. (A) ( iv ) 4 ( 5x² - 7x + 2 ) = 5 ( 4x² - 6x + 3 ) সমীকরণটি 

             ( a ) রৈখিক

             ( b ) দ্বিঘাত

             ( c ) ত্রিঘাত 

             ( d ) কোনােটিই নয়

    4 ( 5x² - 7x + 2 ) = 5 ( 4x² - 6x + 3 )

⇒ 20x² - 28x + 8 = 20x² - 30x + 15

⇒ 20x² - 28x + 8 - 20x² + 30x - 15 = 0

⇒ 2x - 7 = 0

                ইহা রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ।

Ans.   ( a ) রৈখিক

10. (A)  ( v )  $\frac{x^2}x=6$  সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয় ।

             ( a ) 0

             ( b ) 6 

             ( c ) 0 ও 6

             ( d ) –6

      $\frac{x^2}x=6$

⇒ x² = 6x

⇒ x² - 6x = 0

⇒ x(x - 6) = 0

∴  x = 6 অথবা 0

যদি x = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটি অনির্ণেয় হয়ে যাবে তাই x = 0 হবে না। x এর মান হবে 6

Ans.  ( b ) 6

10. ( B ) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি : 

10. ( B ) ( i ) ( x - 3 )² = x² - 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

    ( x - 3 )² = x² - 6x + 9

⇒ x² - 2.x.3 + (3)² = x² - 6x + 9

⇒ x² - 6x + 9 = x² - 6x + 9

সমীকরণের x² এর পদটি বিলুপ্ত হয়ে যাচ্ছে তাই এটি দ্বিঘাত সমীকরণ হতে পারে না।

Ans. মিথ্যা

10. ( B ) ( ii ) x² = 25 সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5 

     x² = 25

⇒ x² - 25 = 0

⇒ (x)² - (5)² = 0

⇒ (x + 5) (x - 5) = 0

∴ x = -5, +5

অর্থাৎ সমীকরণের বীজ দুটি। 

   

 Ans. মিথ্যা

 ( C ) শূন্যস্থান পূরণ করি :

10. (C) ( i ) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি ________ সমীকরণ ।

ax² + bx + c = 0 সমীকরণটিতে a = 0 এবং b ≠ 0 হলে, 

bx + c = 0, যা রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ।

Ans. যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি      রৈখিক   সমীকরণ ।

10. (C) ( ii ) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয় , তাহলে সমীকরণটি হলাে _________. 

দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হলে সমীকরণটি হবে,

    (x - 1) (x - 1) = 0

⇒(x - 1)² = 0

⇒ x² - 2x + 1 = 0

Ans. যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয় , তাহলে সমীকরণটি হলাে    x² - 2x + 1 = 0 

10. (C) ( ii ) x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয়  _____ ও _____ 

    x² = 6x

⇒ x² - 6x = 0

⇒ x(x - 6) = 0

∴  x = 6 অথবা 0

Ans. x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয়  6 ও  0 

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( S.A. )

 ( i ) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে , a- এর মান নির্ণয় করি ।

 ( ii ) x² - ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

 ( ii ) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি । 

( iv ) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর 9/50 ; সমীকরণটি লিখি । 

( v ) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 হলে , a এবং b- এর মান লিখি । 

11. ( i ) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে , a- এর মান নির্ণয় করি । 

উত্তর :

    x² + ax + 3 = 0

    x = 1 হলে

⇒ (1)² + a.1 + 3 = 0

⇒ 1 + a + 3 = 0

⇒ a + 4 = 0

⇒ a = - 4

Ans. a এর মান - 4

 11. ( ii ) x² - ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি ।

উত্তর:

   x² - ( 2 + b ) x + 6 = 0

x = 2 হলে

⇒ (2)² - ( 2 + b ) 2 + 6 = 0

⇒ 4 -  4 - 2b + 6 = 0

⇒ -2b + 6 = 0

⇒ -2b = - 6

⇒ b  $=\frac {-6}{-2}$

⇒ b = 3

∴  x² - (2 + 3) x + 6 = 0

⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0

⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

⇒ (x - 2) (x - 3) = 0

∴ x = 2, 3

∴ x² - ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান 3

Ans. অপর বীজটির মান 3

 11. ( iii ) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি । 

উত্তর:

      2x² + kx + 4 = 0 

      x = 2 হলে

⇒ 2(2)² + k.2 + 4 = 0

⇒ 2.4 + 2k + 4 = 0

⇒ 8 + 2k + 4 = 0

⇒ 2k + 12 = 0

⇒ 2k = -12

⇒ k $=\frac {-12}{2}$

⇒ k = - 6

∵ 2x² - 6x + 4 = 0

⇒ x² - 3x + 2 = 0

⇒ x² - (2 + 1)x + 2 = 0

⇒ x² - 2x - x + 2 = 0

⇒ x(x - 2) -1(x - 2) = 0

⇒ (x - 2) (x - 1) = 0

 ∵  x = 2, 1

2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান 1

Ans. অপর বীজটির মান 1

11. ( iv ) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর $\frac {9}{20}$ ; সমীকরণটি লিখি । 

ধরি,

প্রকৃত ভগ্নাংশ  = $x$

∵ তার অন্যোন্যক $\frac 1x$

প্রশ্নানুযায়ী সমীকরণটি হল,

     $x$  - $\frac 1x$ = $\frac {9}{20}$

Ans.  $x$  - $\frac 1x$ = $\frac {9}{20}$

11. ( v ) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 হলে , a এবং b- এর মান লিখি । 

x এর মান -5 হলে,

    a(-5)² + b.(-5) + 35 = 0

⇒ 25a - 5b +35 = 0 

⇒ 5a - b + 7 = 0 ------ (1) নং সমীকরণ

x এর মান -7 হলে,

    a(-7)² + b.(-7) + 35 = 0

⇒ 49a - 7b +35 = 0

⇒ 7a - b + 5 = 0 ------ (2) নং সমীকরণ

(1) নং সমীকরণ - (2) নং সমীকরণ করে পাই,

         5a - b + 7 = 0

          7a - b + 5 = 0

       (-)  (+)  (-)

        --------------------------

       - 2a        +2     = 0

⇒  - 2a = - 2

⇒  a = 1

a এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

     5.1 - b + 7 = 0

⇒ 5 - b +7 = 0

⇒ 12 - b = 0

⇒ - b = - 12

⇒ b = 12

Ans. a = 1, b = 12